랴푸노프 방정식 문서 원본 보기

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랴푸노프 방정식

제어이론에서 '''이산 랴푸노프 방정식'''은 다음과 같은 형태이다.
:<math>A X A^H - X + Q = 0</math>
여기서 Q는 [[에르미트 행렬]]이다. '''연속 랴푸노프 방정식'''의 형태는 다음과 같다.

:<math>AX + XA^H + Q = 0</math>.

랴푸노프 방정식은 제어 이론의 많은 분야에서 사용되는데, 예를 들어 [[랴푸노프 안정성]], [[최적 제어]] 등이 있다.  이 방정식은 [[러시아]] [[수학자]]인 [[알렉산드르 랴푸노프]]의 이름을 따온 것이다.

==안정성 증명==
행렬 <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> 와 대칭행렬 <math> P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> 에 대하여 다음의 정리가 성립한다.

'''정리'''(이산 시간 버전). 주어진 <math> A </math> 에 대하여, <math>A^T P A -P + Q = 0</math> 을 만족하는 <math>P>0</math>, <math>Q>0</math> 가 존재하면, 선형 시스템 <math>x(t+1)=A x(t)</math>는 초기조건에 관계없이 0으로 수렴한다.  이 때 이차함수 <math>V(x) = x^T P x</math>는 안정화를 확인하는 랴푸노프 함수이다.

'''정리'''(연속 시간 버전).  주어진 <math> A </math> 에 대하여,  <math>A^T P + P A + Q = 0</math> 을 만족하는 <math>P>0</math>, <math>Q>0</math> 가 존재하면, 선형 시스템 <math>\dot{x}=A x</math>는 초기조건에 관계없이 0으로 수렴한다. 이 때 이차함수 <math>V(x)=x^T P x</math>는 랴푸노프 함수이다.

==해의 계산==
주어진  <math>A</math> 에 대하여 <math>\operatorname{vec} (A)</math>를 <math>A</math>의 열을 쌓아서 [[벡터]]로 변환하는 연산자로 정의하고,
<math>A \otimes B</math>를 <math>A</math>와 <math>B</math> 의 크로네커 곱으로 정의하자.
두 연산자를 사용하여 랴푸노프 방정식을 [[선형 방정식]]으로 변환할 수 있고, <math>A</math>가 안정한 경우 [[적분]] (연속 시간의 경우) 혹은 [[무한급수]] (이산 시간의 경우)를 사용하여 해를 표현할 수 있다.

===이산 시간===
연산자 <math> \operatorname{vec} </math>의 성질인 <math> \operatorname{vec}(ABC)=(C^{T} \otimes A)\operatorname{vec}(B) </math>를 이용하면, 랴푸노프 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math> (I-\bar{A} \otimes A)\operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(Q) </math>
이 때 <math>I</math>은 항등행렬이고,  <math>\bar{A}</math>의 원소는 <math>A</math>의 원소의 [[복소켤레]]들이다.<ref>{{서적 인용|first=J. |last=Hamilton |year=1994 |title=Time Series Analysis |url=https://archive.org/details/timeseriesanalys0000hami |at=Equations 10.2.13 and 10.2.18 |location= |publisher=Princeton University Press |isbn=0-691-04289-6 }}</ref>
위의 선형 방정식을 풀고나면 <math>\operatorname{vec}(X)</math>를 얻고, 이를 통해 <math>X</math>를 얻을 수 있다. 만약 <math>A</math>가 안정한 경우,  <math>X</math>는 다음과 같이 구할 수도 있다.

:<math> X = \sum_{k=0}^{\infty} A^{k} Q (A^{H})^k </math>.

===연속 시간===
이산 시간의 경우와 마찬가지로 <math> \operatorname{vec} </math>를 이용하여 다음의 선형 방정식을 얻을 수 있다.
:<math> (I \otimes A +  \bar{A} \otimes I) \operatorname{vec}(X) = -\operatorname{vec}(Q), </math>
만약 <math>A</math>가 안정한 경우, <math>X</math>는 다음과 같이 구할 수도 있다.
:<math> X = \int\limits_0^\infty e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} d\tau  </math>.

==컴퓨터를 이용한 해의 계산==
소프트웨어를 이용하여 랴푸노프 방정식의 해를 구할 수 있다.  이산 시간의 경우는 키타가와의 슈어 방법(the Schur method of Kitagawa (1977))이 자주 사용된다. 연속 시간의 경우는 바터와 슈튜어트의 방법(method of Bartels and Stewart (1972))을 사용한다.

== 같이 보기 ==
* [[실베스터 방정식]](Sylvester equation)

==참고 문헌==
* Kitagawa: ''An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S'', International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
* R. H. Bartels and G. W. Stewart: ''Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C'', Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:제어이론]]