람베르트 정각원추도법 문서 원본 보기

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'''람베르트 정각원추도법'''(람베르트正角圓錐圖法, Lambert conformal conic projection)은 [[정각도법]]인 원추도법의 일종이다. 독일 사람 [[요한 하인리히 람베르트]]가 고안한 도법으로, 위선은 동심원의 원호, 경선은 방사 직선으로 이루어져 있다. 중간 위도 지역을 그리는 데 가장 적합하며, 중간 위도 지역에 위치하고 있는 대한민국에서는 기상대·신문·TV의 일기도 등 여러 방면에서 이용되고 있다.

== 공식 ==
대상 지점의 위도를 <math>\phi</math>, 기준 위선의 위도를 <math>\phi_0</math>, 원뿔의 꼭짓점으로부터의 거리를 <math>\rho</math>라 하면, 다음과 같이 주어진다.

<math>\rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0}</math>

또는 전개도 형태로 나타내어 직각좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:<math>\begin{align}
x &= \rho \sin ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0) \\
y &= - \rho \cos ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0)
\end{align}</math>

여기서 <math>\lambda</math>는 대상 지점의 경도, <math>\lambda_0</math>는 기준점의 경도이다.

=== 증명 ===
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투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를 <math>r</math>이라 하자. 정각성에 의해 다음이 성립한다.

<math> \frac {d\phi}{\cos \phi \, d\lambda} = - \frac {d\rho}{r \, d\lambda} </math>

이 때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로, <math> \frac {\rho}{r} </math>의 값은 상수이다. 이를 <math>k</math>로 놓자.

<math> - \sec \phi \, d\phi = \frac{k}{\rho} d\rho </math>

<math> k \log \rho = \log (\sec \phi - \tan \phi) + C </math>

<math> \rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi) </math>

이제 <math>k</math>와 <math>C</math>의 값을 구하면 된다.

기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로

<math> \cos \phi_0 = r(\phi_0) </math>

또 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 <math> \cos \phi = r </math>은 이중근을 가져야 한다. 즉

<math> - \sin \phi_0 = r'( \phi_0 ) </math>

이다.

다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해 <math> \rho ' ( \phi_0 ) = -1 </math> 이 성립하므로, <math> -1 = \rho ' ( \phi_0 ) = kr' ( \phi_0 ) = -k \sin \phi_0 </math>이다.

따라서 <math> k = \csc \phi_0 </math>이다.

이제 위의 식 <math> \rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi) </math>의 양변에 <math> \frac {1}{k} </math>승을 취한 후 <math> k = \csc \phi_0 </math>를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math> \rho = e^{ C \sin \phi_0 } (\sec \phi - \tan \phi)^{ \sin \phi_0 } </math>

여기서 <math> \phi = \phi_0 </math> 를 대입하면,

<math> e^{ C \sin \phi_0 } ( \sec \phi_0 - \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 } = \rho ( \phi_0 ) = \cot \phi_0 </math>

<math> e^{ C \sin \phi_0 } = \cot \phi_0 ( \sec \phi_0 + \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 } </math>

<math> \quad \therefore \; \rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0} \qquad \blacksquare </math>
== 같이 보기 ==
* [[람베르트 정적방위도법]]
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{{위키공용분류|Lambert conformal conic projection}}
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[[분류:지도 투영법]]
[[분류:요한 하인리히 람베르트]]