라플라스 연산자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''라플라스 연산자'''(Laplace演算子, {{llang|en|Laplace operator}}) 또는 '''라플라시안'''({{llang|en|Laplacian}})은 2차 [[미분 연산자]]의 일종으로, [[기울기 (벡터)|기울기]]의 [[발산 (벡터)|발산]]이다.<ref>{{서적 인용
|제목=The Laplacian on a Riemannian manifold: an introduction to analysis on manifolds
|이름=Steven | 성=Rosenberg | isbn=978-052146831-2
|url=http://math.bu.edu/people/sr/articles/book.pdf
|출판사=Cambridge University Press | 날짜=1997 | doi=10.1017/CBO9780511623783
|총서= London Mathematical Society Student Texts | 권=31
|언어=en
}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Jürgen|성=Jost|제목=Riemannian geometry and geometric analysis|날짜=2002|출판사=Springer-Verlag|isbn= 3-540-42627-2 |언어=en}}</ref> 기호는 [[Δ]](그리스 대문자 델타) 또는 ∇<sup>2</sup>이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math>
* <math>E</math> 위의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>
그렇다면, <math>E</math> 위의 '''라플라스 연산자'''는 다음과 같이 <math>E</math>의 [[매끄러운 단면]]을 [[매끄러운 단면]]에 대응시키는 2차 [[미분 연산자]]이다.
:<math>\Delta\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
이는 국소 좌표계에서 다음과 같다.
:<math>\Delta s^c=g^{ij}\nabla_i\nabla_js
=g^{ij}(\partial_j\delta_b^c+\Gamma_{ib}^c)(\delta_a^b\partial_is+\Gamma_{ia}^bs^a)
=g^{ij}\partial_i\partial_js^c
+2g^{ij}\Gamma_{ia}^c\partial_js^a
+g^{ij}\left(\partial_{ib}^c\Gamma_{ja}^b
+\Gamma_{ib}^c\Gamma_{ja}^b
\right)s^a
\qquad\forall s\in\Gamma^\infty(E)
</math>
여기서 <math>\Gamma_{ia}^b</math>는 <math>\nabla</math>의 성분([[크리스토펠 기호]])이다. <math>i,j,\ldots</math>는 [[접다발]]의 첨자이며, <math>a,b,\ldots</math>는 <math>E</math>의 첨자이다.
(주의: 물리학에서는 라플라스 연산자가 거의 항상 위와 같이 정의되지만, 수학에서는 가끔 위에 정의된 연산자 ×(−1)을 라플라스 연산자로 정의하는 경우도 있다.)

이에 따라, [[리만 계량]] <math>g</math>가 2차 성분의 계수를 결정하고, [[코쥘 접속]] <math>\Gamma_{ia}^b</math>가 1차 성분의 계수를 결정함을 알 수 있다. 2차 성분과 1차 성분이 주어지면 0차 성분은 자동적으로 결정된다. 반대로, [[매끄러운 다양체]]의 [[매끄러운 벡터 다발]] 위에 라플라스 연산자가 주어지면 이로부터 [[매끄러운 다양체]] 위의 [[리만 계량]]과 [[매끄러운 벡터 다발]] 위의 [[코쥘 접속]]을 읽어낼 수 있다.

위 정의는 대신 [[기울기 (벡터)|기울기]]
:<math>\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)</math>
와 [[접다발|음악 동형]]
:<math>(-)^\#\colon\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM)</math>
과 [[발산 (벡터)|발산]]
:<math>\operatorname{div}\colon\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM)\to\Gamma^\infty(E)</math>
의 [[함수의 합성|합성]]으로 여길 수 있다.
:<math>\Delta=\operatorname{div}\circ(-)^\#\circ\nabla</math>

=== 라플라스형 연산자 ===
보다 일반적으로, 위와 같은 형태의 2차 [[미분 연산자]]에 임의의 0차 항을 추가하여 '''라플라스형 연산자'''(Laplace形演算子, {{llang|en|Laplace-type operator}}) 또는 '''일반화 라플라스 연산자'''(一般化Laplace演算子, {{llang|en|generalized Laplace operator}})의 개념을 정의할 수 있다.<ref name="BGV">{{서적 인용|이름=N.|성=Berline|이름2=E.|성2=Getzler|이름3= M.|성3=Vergne|제목=Heat kernels and Dirac operators|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권= 298|출판사=Springer-Verlag|날짜=1992|언어=en}}</ref>{{rp|65–67, §2.1}}<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0306138|제목=Heat kernel expansion: user’s manual|이름=D. V.|성=Vassilevich|doi=10.1016/j.physrep.2003.09.002|저널=Physics Reports|권=388|쪽=279–360|bibcode=2003PhR...388..279V|날짜=2003|언어=en}}</ref>{{rp|§2.1}}<ref>{{서적 인용|장=The spectral geometry of operators of Dirac and Laplace type|제목=Handbook of global analysis|editor1-first=Demeter|editor1-last=Krupka|editor2-first=David|editor2-last=Saunders|이름=P.|성=Gilkey|장url=http://pages.uoregon.edu/gilkey/dirPDF/E27Handbook.pdf|isbn=978-0-444-52833-9|doi=10.1016/B978-044452833-9.50006-1|쪽=289–326|언어=en}}</ref>{{rp|290, §2}}
구체적으로, '''라플라스형 연산자''' <math>H</math>는 다음과 같은 꼴의 2차 [[미분 연산자]]이다.
:<math>H=\Delta+T\qquad(T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*))</math>
여기서 <math>\Delta</math>는 라플라스 연산자이며, <math>\Gamma^\infty(E\otimes E^*)</math>는 <math>E\otimes E^*=\operatorname{End}(E)</math>의 [[매끄러운 단면]]들의 공간이다.

== 성질 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>M</math>이 주어졌으며, 그 위의 복소수 값 [[매끄러운 함수]]에 대한 라플라스 연산자를 생각하자. 이는 사실 [[복소수 힐베르트 공간]] ([[르베그 공간]]) <math>\mathcal H=\operatorname L^2(M;\mathbb C)</math>의 [[조밀 집합|조밀]]한 [[부분집합|부분 집합]] 위에 정의된다. 따라서, 임의의 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 [[유계 작용소]]
:<math>\exp(\mathrm it\Delta)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
가 <math>\mathcal H</math> 위에 잘 정의된다.

이제, 위 [[유계 작용소]]의 [[고윳값]]을 생각할 수 있다. 이는 물론 <Math>\exp(-\mathrm it\lambda_i)</math>의 꼴이며, <Math>-\lambda_i</math>를 라플라스 작용소의 [[고윳값]]으로 여길 수 있다.

이 경우, <math>\{\lambda_i\}</math>는 음이 아닌 실수들의 [[가산 집합]]이며, <math>0=\lambda_0<\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3\le\cdots</math>의 꼴이다. (<math>\lambda_0=0</math>이 항상 [[고윳값]]인 것은 [[상수 함수]]가 그 [[고유 벡터]]이기 때문이다. <math>\lambda_i\ge0</math>인 것은 [[부분 적분]]에 따라
:<math>\lambda\int_M|f|^2 \sqrt{\det g}
=-\int_Mf\Delta f\sqrt{\det g}
=\int_Mg(\nabla f,\nabla f)\sqrt{\det g}
\ge0</math>
이기 때문이다. [[양자 역학]]에서 <math>H=-\Delta</math>는 자유 입자의 [[해밀토니언 연산자]]이므로, 이는 [[콤팩트 공간]] 위의 자유 입자의 에너지가 음이 아님을 나타낸다.)

'''리크네로비츠-오바타 정리'''(Lichnerowicz-[小畠]定理, {{llang|en|Lichnerowicz–Obata theorem}})에 따르면, 만약 <math>n\ge2</math>이며, 또한
:<math>R^{-2}=\inf_{X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM\setminus M)}\frac{\operatorname{Ric}(X,X)}{g(X,X)}>0</math>
라면, <math>\lambda_1</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\lambda_1\ge\frac{Cn}{n-1}</math>
여기서 <math>\Gamma^\infty(\mathrm TM\setminus M)</math>은 어디서도 0이 아닌 [[벡터장]]들의 공간이며, <math>\operatorname{Ric}(-,-)</math>은 [[리치 곡률 텐서]]이다. 반대로, 만약 위 부등식이 포화된다면 <math>M</math>은 ([[연결 공간|연결]] [[단일 연결 공간]]일 경우) 반지름 <math>R</math>의 [[초구]]이다.

== 예 ==
=== 함수의 경우 ===
만약 <math>E=M\times\mathbb R</math>가 자명한 [[선다발]]일 경우, <math>E</math>의 단면은 단순히 <math>M</math> 위의 [[실수]] 값 [[매끄러운 함수]]이다. 이 경우 라플라스 연산자는 '''라플라스-벨트라미 연산자'''({{llang|en|Laplace–Beltrami operator}})라고 하며, 이 경우 다음과 같은 특별한 공식이 존재한다.
:<math>\Delta s=\frac1{\sqrt{\det g}}\partial_i\left(\sqrt{\det g}g^{ij}\partial_js\right)</math>.
여기서 <math>\det g_{ij}</math>는 [[계량 텐서]]의 성분의 [[행렬식]]이다.

=== 텐서장의 경우 ===
만약
:<math>E=(\mathrm TM)^{\otimes p}\otimes(\mathrm T^*\!M)^{\otimes q}</math>
가 <math>(p,q)</math>차 텐서장의 [[벡터 다발]]일 경우, <math>E</math> 위에는 [[리만 계량]]에 의한 표준적인 [[코쥘 접속]]인 [[레비치비타 접속]]이 존재한다. 이 경우, 레비치비타 접속을 사용한 라플라스 연산자를 역시 '''라플라스-벨트라미 연산자'''라고 한다.

예를 들어, [[벡터장]]의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같다.
:<math>(\Delta X)^i
=g^{jk}(\nabla_j\nabla_kX)^i
=g^{jk}\partial_j\partial_kX^i
+2g^{jk}\Gamma_{ji'}^i\partial_kX^{i'}
+g^{jk}\left(\partial_{ji'}^i\Gamma_{ki''}^{i'}
+\Gamma_{ji'}^i\Gamma_{ji''}^{i'}
\right)X^{i''}</math>

=== 유클리드 공간의 경우 ===
유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math>위의 실수 값 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>의 라플라스 연산자는 [[직교 좌표계]]에서 다음과 같다.
:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>

[[초구면 좌표계]]
:<math>(r,\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_{n-1})</math>
에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
:<math>\Delta f=r^{1-n}\frac\partial{\partial r}\left(r^{n-1}\frac\partial{\partial r}f\right)
+r^{-2}\nabla_{\mathbb S^{n-1}}f</math>
여기서 <math>\nabla_{\mathbb S^{n-1}}</math>은 [[초구]] 위의 라플라스-벨트라미 연산자로, 다음과 같다.
:<math>\nabla_{\mathbb S^{n-1}}f=
\sum_{i=1}^{n-1}
\frac1{(\sin^2\theta_1
\cdots\sin^2\theta_{i-1})
\sin^{n-i-1}\theta_i}
\frac\partial{\partial\theta_i}\left(\sin^{n-i-1}\theta_i\frac\partial{\partial\theta_i}f\right)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[구면 좌표계]] <math>(r,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})</math>에서의 [[리만 계량]]은
:<math>\mathrm ds^2=\mathrm dr^2+r^2\mathrm d\theta_1^2+r^2\sin^2\theta_1\mathrm d\theta_2^1 + r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2 \mathrm d\theta_3^2+\cdots + r^2\sin^2\theta_1\cdots\sin^2\theta_{n-2}\mathrm d\theta_{n-1}^2</math>
이다. 따라서 [[리만 계량]]의 [[행렬식]]의 [[제곱근]]은
:<math>\sqrt{\det g}=r^{n-1}
\sin^{n-2}\theta_1
\sin^{n-3}\theta_2
\cdots
\sin\theta_{n-2}
</math>
이며,
:<math>\Delta f=
r^{1-n}\partial_r(r^{n-1}\partial_rf)
+
r^{-2}
\sin^{2-n}\theta_1
\partial_{\theta_1}(
\sin^{n-2}\theta_1
\partial_{\theta_1}f)
+
\frac1{r^2\cos^2\theta_1}
\sin^{3-n}\theta_2
\left(
\sin^{n-3}\theta_2
\partial_{\theta_2}f\right)
+\cdots</math>
이다.
</div></div>

예를 들어, 2차원 초구면 좌표계(=[[극좌표계]])에서의 라플라스 연산자는 다음과 같다.
:<math> \Delta f
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
</math>

마찬가지로, 3차원 [[원통 좌표계]]에서의 라플라스 연산자는 다음과 같다.
:<math> \Delta f
= \frac1r\frac\partial{\partial r}\left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right)
+ \frac1{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}
+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}</math>

마찬가지로, 3차원 [[구면 좌표계]] <math>(r,\theta,\phi)</math>에서의 라플라스 연산자는 다음과 같다.
:<math>\Delta f=\frac1{ r^{2}}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)
+\frac1{r^2\sin\theta}\frac\partial{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta} \right)
+\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}
</math>

=== 민코프스키 공간 ===
{{본문|달랑베르 연산자}}
[[민코프스키 공간]] <Math>\mathbb R^{n,1}</math>은 [[리만 다양체]]가 아니지만 [[준 리만 다양체]]이며, 이 경우의 라플라스 연산자는 '''[[달랑베르 연산자]]'''라고 한다. 이는 ([[리만 다양체]]의 경우와 달리) [[타원형 미분 연산자]]가 아니다.

== 역사 ==
오늘날 "[[라플라스 방정식]]"이라고 불리는 2차 [[편미분 방정식]] 및 이 속에 등장하는 2차 [[미분 연산자]]는 이미 [[레온하르트 오일러]]가 [[유체역학]]을 연구하는 동안 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=L.|성=Evlerus|저자링크=레온하르트 오일러|제목=Principia motvs flvidorum. Pars prior|저널=Commentarii academiae scientiarvm imperialis Petropolitanae|권=6|날짜=1756|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E258.html|쪽=271–311|언어=la}}</ref>{{rp|300, §67}}<ref>{{서적 인용|제목=Domain decomposition methods in science and engineering XXI|장=The Origins of the Alternating Schwarz Method|이름=Martin J.|성=Gander|이름2=Gerhard|성2=Wanner|장url=http://dd21.inria.fr/pdf/gander_mini_11.pdf|doi=10.1007/978-3-319-05789-7_46|쪽=487–495|총서=Lecture Notes in Computational Science and Engineering|권=98|날짜=2014|issn=1439-7358|isbn=978-3-319-05788-0| 출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref>{{rp|489, §2; 490, Fig. 3}} 마찬가지로, [[장 르 롱 달랑베르]] 역시 [[라플라스 방정식]]을 연구하였다.<ref>{{서적 인용|이름=J.|성=d’Alembert|저자링크=장 르 롱 달랑베르|제목=Opuscules mathématiques, ou Mémoires sur différens Sujets de Géométrie, de Méchanique, d’Optique, d’Astronomie, &c. Tome 1|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1761|언어=fr}}</ref>{{rp|Art. IV}}<ref name="GJ">{{저널 인용|url=http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/15/pdf/smf_rhm_15_59-122.pdf|이름=Alexandre|성=Guilbart|이름2=Guillaume|성2=Jouve|제목=La résolution des équations aux dérivées partielles dans les ''Opuscules mathématiques'' de d’Alembert (1761–1783)|저널=Revue d’histoire des mathématiques|권=15|날짜=2009|쪽=59–122|언어=fr|확인날짜=2017-01-15|보존url=https://web.archive.org/web/20170118042605/http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/15/pdf/smf_rhm_15_59-122.pdf|보존날짜=2017-01-18|url-status=dead}}</ref>{{rp|118}}

[[피에르시몽 라플라스]]는 [[만유인력의 법칙]]을 연구하는 도중 [[라플라스 방정식]]을 재발견하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=P.S.|성=Laplace|제목=Mémoire sur la théorie de l'anneau de Saturne|저널=Histoire de l'Académie royale des sciences|날짜=1787|언어=fr}}</ref>
여기에 등장하는 2차 [[미분 연산자]]는 "라플라스 연산자"로 불리게 되었다. 이 밖에도, 달랑베르는 [[파동 방정식]]에 등장하는 [[달랑베르 연산자]](=[[민코프스키 공간]] 위의 라플라스 연산자)를 도입하였다.<ref name="GJ"/>{{rp|117}}

다양체 위의 라플라스(-벨트라미) 연산자는 [[에우제니오 벨트라미]]가 [[고전역학]]을 일반적인 [[리만 다양체]] 위에 정의하기 위하여 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Beltrami|이름=Eugenio|저자링크=에우제니오 벨트라미|장=Richerche di analisi applicata alla geometria|제목=Opere matematiche di Eugenio Beltrami. Pubblicate per cura della Facoltà di scienze della R. Università di Roma|위치=[[밀라노]]|언어=it|출판사=U. Hoepli|연도=1902|쪽=107–198|jfm=33.0034.02}}</ref>
리크네로비츠-오바타 정리의 경우, <math>\lambda_1</math>의 하한은 앙드레 리크네로비츠({{llang|fr|André Lichnerowicz}})가 증명하였고, 이 하한의 포화가 [[초구]]에서만 일어난다는 것은 오바타 모리오({{llang|ja|小畠 守生}})가 증명하였다.

== 응용 ==
라플라스 연산자는 물리학 또는 화학에서 벡터장의 퍼텐셜을 이용해 벡터장의 특성을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 전기장의 퍼텐셜인 전기 퍼텐셜에 라플라스 연산자는 취하면 전하 밀도를 유전률 상수로 나눈 값이 되는데, 이것은 [[푸아송 방정식]]의 하나로 이것의 해를 찾는 것은 정전기학에서 중요한 문제이다.

== 같이 보기 ==
* [[라플라스-벨트라미 연산자]]
* [[언쇼 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{포털|수학}}
* {{eom|title=Laplace operator}}
* {{eom|title=Laplace-Beltrami equation}}
* {{매스월드|id=Laplacian|title=Laplacian}}
* {{매스월드|id=VectorLaplacian|title=Vector Laplacian}}
* {{매스월드|id=TensorLaplacian|title=Tensor Laplacian}}
* {{매스월드|id=Laplace-BeltramiOperator|title=Laplace-Beltrami operator}}
* {{수학노트|title=라플라스-벨트라미 연산자}}
* {{저널 인용|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2013_47/KN_2013_47_05.pdf|저자=박진성|제목=기하학적 미분 작용소의 스펙트럼과 불변량|쪽=5–9|저널=과학의 지평|권=47|날짜=2013|언어=ko|access-date=2017-01-10|archive-date=2017-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20170110090216/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2013_47/KN_2013_47_05.pdf|url-status=}}
* {{저널 인용|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2013_47/KN_2013_47_14.pdf|저자=강현석|제목=라플라스 작용소의 동일 고유값을 가지는 다양체|쪽=14–15|저널=과학의 지평|권=47|날짜=2013|언어=ko|access-date=2017-01-10|archive-date=2017-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20170110090048/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2013_47/KN_2013_47_14.pdf|url-status=}}
{{전거 통제}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:미분 연산자]]
[[분류:조화 함수]]
[[분류:타원 편미분 방정식]]
[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:피에르시몽 라플라스]]