라플라스 방정식 문서 원본 보기

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'''라플라스 방정식'''(Laplace's equation)은 2차 [[편미분 방정식]]의 하나로, [[고윳값]]이 0인 [[라플라스 연산자]]의 [[고유벡터|고유함수]]가 만족시키는 방정식이다. [[전자기학]], [[천문학]] 등에서 [[전위]] 및 [[중력 퍼텐셜]]을 다룰 때 쓰인다. [[피에르시몽 라플라스]]의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 '''[[조화함수]]'''라고 한다.
{{포털|수학}}

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[리만 다양체]]에서 <math>\Delta</math>가 [[라플라스-벨트라미 연산자]]라고 하자. 그렇다면 '''라플라스 방정식'''은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.
:<math>\Delta\phi=0</math>.
3차원 유클리드 공간에서는
:<math>\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>
이므로,
:<math>{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0</math>
이 된다.

=== 관련된 편미분 방정식 ===
우변을 주어진 함수 <math>f(x,y,z)</math>로 바꾼 경우
:<math>\Delta \phi = f</math>
는 [[푸아송 방정식]]이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 <math>f=0</math>인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면
:<math>\Delta\phi=k^2\phi</math>
[[헬름홀츠 방정식]]을 얻는다. 라플라스 방정식은 <math>k^2=0</math>인 경우다.

[[코시-리만 방정식]]의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, [[정칙함수]]의 실수 또는 허수 성분은 [[조화함수]]다.)

== 경계 조건 ==
라플라스 방정식의 [[디리클레 문제]]란 어떤 영역 <math>D</math>의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 <math>D</math>위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 [[노이만 경계 조건]]은 경계 D에서 함수 <math>\varphi</math> 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 [[벡터장]]의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 [[조화 함수]]라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 [[해석함수|해석적]]이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 [[선형 결합]]도 해이다. 이 성질을 [[중첩의 원리]]라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

== 2차원 라플라스 방정식 ==
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수
:<math>\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \equiv \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0.</math>
의 형태로 나타난다.

=== 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식 ===
:<math>u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=0</math>
<math>h</math>는 격하게 (mesh size)

푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.
:<math>u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=h^{2}f\left( x,y \right)</math>

=== 해석적 함수 ===
복소 범위의 해석적 함수 <math>f</math>의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.
<math>z=x+iy</math>이고
: <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>
라 하자. <math>f(z)</math>가 해석적이려면
: <math>u_x = v_y, v_x=-u_y</math>
를 만족해야 한다([[코시-리만 방정식]]). 여기서
: <math>(u_y)_y=(-v_x)_y=-(v_y)_x = -(u_x)_x</math>
이다. 따라서 <math>u</math>는 라플라스 방정식을 만족한다. <math>v</math>도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

=== 2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수 ===
[[극좌표계]] <math>(r,\theta)</math>에서 [[라플라스 연산자]]는 다음과 같다.
:<math>\Delta=r^{-1}\frac\partial{\partial r}r\frac\partial{\partial r}+r^{-2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}</math>.
따라서 그 일반해는 [[변수분리법]]으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
:<math>\phi(r,\theta)=\sum_{n=-\infty}^\infty\left(a_nr^n\cos n\phi+b_nr^n\sin n\theta\right)</math>.
이는 함수 <math>\phi</math>의 [[푸리에 급수]]임을 알 수 있다. 이는
:<math>\phi(r,\theta)=\operatorname{Re}\left[\sum_{n=-\infty}^\infty(a_n-ib_n)z^n\right]</math>
으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 [[로랑 급수]]의 계수와 같다.

== 3차원 라플라스 방정식 ==
3차원 공간에서, [[구면좌표계]] <math>(r,\theta,\phi)</math>에서 [[변수분리법]]을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
:<math>f(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \left(a_l^m r^l + b_l^m r^{-l-1}\right)Y_l^m(\theta,\phi)</math>.
여기서 <math>Y_l^m(\theta,\phi)</math>는 [[구면 조화 함수]]이고, <math>a_l^m</math>와 <math>b_l^m</math>은 임의의 계수다. 물론, <math>f</math>가 원점에서 연속적이려면 <math>b_l^m=0</math>이다.
== 같이 보기 ==
* [[헬름홀츠 방정식]]
* [[퍼텐셜 이론]]
* [[포텐셜 유동]]
* [[언쇼 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:방정식]]
[[분류:조화해석학]]
[[분류:타원 편미분 방정식]]
[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:피에르시몽 라플라스]]
[[분류:조화 함수]]