라이데마이스터 비틀림 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''라이데마이스터 비틀림'''(Reidemeister뒤틀림, {{llang|en|Reidemeister torsion}}) 또는 '''해석적 뒤틀림'''(解析的뒤틀림, {{llang|en|analytic torsion}})은 그 [[기본군]]의 [[군의 표현|표현]]이 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 대하여 정의되는 불변량이다.<ref>{{서적 인용|last=Nicolaescu|first= Liviu I.|title= The Reidemeister torsion of 3-manifolds|series= de Gruyter Studies in Mathematics|volume= 30|publisher=Walter de Gruyter & Co.|날짜= 2003 | isbn=3-11-017383-2|mr=1968575 | 언어=en}}</ref> 특별한 경우, 이는 평탄 [[코쥘 접속]]을 갖는 [[매끄러운 벡터 다발]] 값을 갖는 [[미분 형식]]의 [[라플라스 연산자]]의 [[제타 함수 조절]] [[행렬식]]으로 계산될 수 있다.

== 정의 ==
=== 해석적 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[가향 다양체|가향]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math> 위의 평탄 [[코쥘 접속]] <math>\nabla\colon \Gamma^\infty(M,E)\to\Gamma^\infty(M,E\otimes_M\mathrm T^*M)</math>
그렇다면, <math>E</math>값 <math>k</math>차 [[미분 형식]]의 공간 <math>\Omega^\bullet(M;E)</math> 위의 [[라플라스 연산자]]
:<math>\Delta^{(k)}\colon \Omega^k(M;E)\to\Omega^k(M;E)</math>
를 정의할 수 있다. 그 [[고윳값]]들을 <math>(\lambda^{(k)}_i)_{i\in I_k}</math>라고 하자. (콤팩트성 가정에 의하여 연속 스펙트럼이 존재하지 않는다.)

그렇다면, <math>E</math>의 <math>k</math>차 '''제타 함수'''는 충분히 큰 실수 성분을 갖는 <math>s</math>에 대하여 다음과 같다.
:<math>\zeta_k(s) = \sum_{i\in I,\;\lambda^{(k)}_i\ne0}(\lambda_i^{(k)})^{-s}\qquad(\operatorname{Re}s\gg0)</math>
이를 [[복소평면]]에 [[해석적 연장]]을 가할 수 있다.

그렇다면, <math>\Delta^{(k)}</math>의 [[행렬식]]을 다음과 같이 [[제타 함수 조절]]로 정의할 수 있다.
:<math>\det(\Delta^{(k)}) = \exp(-\zeta'_i(0))</math>

이 값들은 물론 일반적으로 [[리만 계량]] <math>g</math> 및 <math>M</math>의 [[매끄러움 구조]]에 의존한다. 그런데 다음과 같은 조합은 [[리만 계량]] 및 [[매끄러움 구조]]에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이를 '''라이데마이스터 비틀림'''이라고 한다.
:<math>\rho(M;E) = \prod_{i=0}^{\dim M}(\det\Delta^{(k)})^{-(-)^kk/2}</math>

=== 위상수학적 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[연결 공간|연결]] 유한 [[CW 복합체]] <math>X</math>. 그 [[범피복 공간]]을 <math>\tilde X</math>라고 하자.
* <math>\pi_1(X)</math>의 유한 차원 [[직교 행렬]] 표현 <math>r\colon\pi_1(X)\to\operatorname{GL}(V;\mathbb R)</math>
그렇다면, 실수 계수 [[사슬 복합체]] <math>(D_\bullet,\partial_\bullet)</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>D_\bullet = V\otimes_{\mathbb Z[\pi_1(X)]}\operatorname C_\bullet(\tilde X)</math>
그 [[호몰로지]]가 모두 0이라고 하자.
:<math>\operatorname H_\bullet(D) = 0</math>
이제, 다음 조건을 만족시키는 임의의 사슬 사이의 성분별 사상
:<math>\gamma_\bullet\colon D_\bullet\to D_{\bullet+1}</math>
을 생각하자.
:<math>\partial_{n+1}\circ \gamma_n + \gamma_{n-1}\circ\partial_n = 1</math>
(이는 [[사슬 사상]]이 아니다.) 그렇다면
:<math>(\partial+\gamma)_{2\bullet} \colon D_{2\bullet} \to D_{2\bullet+1}</math>
:<math>(\partial+\gamma)_{2\bullet+1} \colon D_{2\bullet+1} \to D_{2\bullet}</math>
를 생각할 수 있다. 이들은 <Math>D_{2\bullet} =\textstyle\bigoplus_{n\in\mathbb Z}D_{2n}</math>과 <Math>D_{2\bullet+1} =\textstyle\bigoplus_{n\in\mathbb Z}D_{2n+1}</math> 사이의 [[실수 벡터 공간]] 동형을 정의한다.

그렇다면, <math>(X,V)</math>의 '''라이데마이스터 비틀림'''은 다음과 같다.
:<math>\rho(X;V) = |\det(\partial+\gamma)_{2\bullet+1}|^{-1} \in\mathbb R^+</math>
이 값은 <math>\gamma</math>의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

=== 두 정의 사이의 관계 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 연결 콤팩트 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 평탄 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>
그렇다면, 임의의 점 <math>x\in M</math>에 대하여, [[홀로노미]]
:<math>\operatorname{hol}_E\colon \pi_1(M,x) \to \operatorname{GL}(E_x)</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[군 준동형]]이다.

그렇다면,
:<math>\rho(X;\operatorname{hol}_E) = \rho(X;E)</math>
이다. 여기서 좌변은 위상수학적 정의이며, 우변은 해석적 정의이다.

== 응용 ==
라이데마이스터 비틀림은 [[천-사이먼스 이론]]의 [[섭동 이론]]적 양자화에서 등장한다.

== 역사 ==
쿠르트 베르너 프리드리히 라이데마이스터({{llang|de|Kurt Werner Friedrich Reidemeister}}, 1893~1971)가 1935년에 [[렌즈 공간]]을 분류하기 위하여 라이데마이스터 비틀림의 위상수학적 정의를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|first=Kurt |last=Reidemeister|title=Homotopieringe und Linsenräume|journal=  Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg |volume= 11  |year=1935|pages= 102–109|doi=10.1007/BF02940717 | 언어=de}}</ref> 라이데마이스터의 정의는 오직 성분별 선형 위상 동형({{llang|en|piecewise linear homeomorphism}})에 대하여 불변이었으나, 1960년에 브로디({{llang|en|E. J. Brody}})가 이 값이 모든 [[위상 동형]]에 대하여 불변임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용| doi=10.2307/1969884| first=E. J. |last=Brody |title=The topological classification of the lens spaces| url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1960-01_71_1/page/n164| jstor=1969884|journal=Annals of Mathematics | volume=71| issue=1 | year=1960 | pages=163–184 | 언어=en}}</ref>

1971년에 대니얼 버릴 레이({{llang|en|Daniel Burrill Ray}}, 1928~1980)와 [[이저도어 싱어]]가 라이데마이스터 비틀림의 해석적 정의를 도입하였으며,<ref>{{저널 인용
|last= Ray|first= Daniel Burrill|last2= Singer|first2= Isadore Manuel
|title=''R''-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.
|journal=Advances in Math.
|volume=7
|issue= 2|pages=145–210|year=1971|doi=10.1016/0001-8708(71)90045-4
|mr= 0295381 | 언어=en}}</ref> 이 두 정의가 서로 동치라고 추측하였다. 이 추측은 1978년 경에 [[제프 치거]]<ref>{{저널 인용 
|journal=PNAS | year= 1977 | issue= 7 | pages=2651–2654
|title=Analytic Torsion and Reidemeister Torsion
|first=Jeff |last=Cheeger |authorlink=제프 치거
|doi=10.1073/pnas.74.7.2651|volume=74|pmid=16592411|pmc=431228
|mr=0451312 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용
|last=Cheeger|first= Jeff
|title=Analytic torsion and the heat equation
|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1979-03_109_2/page/n48|journal=Annals of Mathematics |volume=109 |year=1979|issue= 2|pages= 259–322|doi=10.2307/1971113|jstor=1971113
|mr=0528965
}}</ref>와 베르너 뮐러({{llang|de|Werner Müller}})<ref>{{저널 인용
|last=Müller|first= Werner
|title=Analytic torsion and ''R''-torsion of Riemannian manifolds.
|journal=Advances in Mathematics|volume= 28 |year=1978|issue= 3|pages=233–305
|doi=10.1016/0001-8708(78)90116-0
|mr=0498252 | 언어=en}}</ref>가 각각 독자적으로 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Reidemeister torsion}}
* {{매스월드|id=AnalyticTorsion|title=Analytic torsion}}
* {{매스월드|id=ReidemeisterTorsion|title=Reidemeister torsion}}
* {{웹 인용|first=Liviu I.|last= Nicolaescu|year=2002|url=http://www.nd.edu/~lnicolae/Torsion.pdf|title=Notes on the Reidemeister torsion | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:3-다양체]]