라그랑지언 문서 원본 보기

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[[라그랑주 역학]]에서 '''라그랑지언'''({{lang|en|Lagrangian}})이란 [[계 (물리학)|계]]의 [[동역학]]을 나타내는 함수다.
라그랑주 역학에서는 계의 상태를 [[일반화 좌표]]와 [[일반화 속도]]로 나타내므로, 라그랑지언은 일반화 좌표와 일반화 속도의 함수다. 수학자 [[조제프루이 라그랑주]]가 도입하였다. 기호는 대개 ''L''이다.

[[라그랑주 역학]]과 [[뉴턴 역학]]은 서로 동등하지만, 라그랑주 역학에서는 [[직교좌표계]] 뿐만 아니라 임의의 [[좌표계]] ([[구면좌표계]], [[원통좌표계]] 뿐만 아니라 3차원 현실 세계와 전혀 연관되지 않은 추상적인 [[일반화 좌표계]])를 사용할 수 있어 편리하다.

== 고전역학에서의 라그랑지언 ==
고전역학에서의 라그랑지언은 계의 [[운동에너지]] T에서 [[위치에너지]] V를 뺀 것으로 정의된다.
:<math>L = T - V \;</math>
라그랑지언을 알면 이를 [[오일러-라그랑주 방정식]]에 대입하여 [[운동방정식]]을 얻을 수 있다.

== 라그랑지언의 유일성 ==
어떤 운동방정식을 주는 라그랑지언은 유일하지 않다. 예를 들어, 고전역학의 라그랑지언 <math>L_A(q,\; \dot{q},\; t) = T(q,\; \dot{q},\; t) - V(q,\; t)</math>와 다음과 같은 좌표와 시간만의 임의의 함수 <math>f(q,\; t)</math>의 시간에 대한 [[전미분]]을 포함하는 라그랑지언
:<math>{\mathcal L}_B(q,\; \dot{q},\; t) = {\mathcal L}_A(q,\; \dot{q},\; t) + {d \over dt} f(q,
\; t)</math>
을 비교해보자. 두 이들이 주는 [[작용 (물리학)|작용]]의 차이는
:<math>\begin{align}
S_B & =  \int_{t_1}^{t_2} {L_B(q,\; \dot{q},\; t)} \, dt \\
& =  \int_{t_1}^{t_2} {L_A(q,\; \dot{q},\; t)} \, dt + \int_{t_1}^{t_2} {{d \over dt} f(q,
\; t)} \, dt
\\ & = S_A + \left. f(q,\; t) \right|_{t=t_2} - \left. f(q,\; t)\right|_{t=t_1}
\end{align}</math>
이므로 <math>\left. f(q,\; t) \right|_{t=t_2} - \left. f(q,\; t)\right|_{t=t_1}</math>만큼 차이가 난다. 하지만 이는 상수이므로 여기에 [[변분법|변분]]을 취하면
:<math>\delta S_B = \delta S_A + \delta \left[ \left. f(q,\; t) \right|_{t=t_2} - \left. f(q,\; t)\right|_{t=t_1} \right] = \delta S_A</math>
가 되어 최종적으로 다음과 같은 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 얻게 되며 두 라그랑지언에 의해 얻게 되는 운동방정식은 같게 된다.

:<math>\frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial\dot q} = \frac{\partial L}{\partial q} </math>

일반적으로, 라그랑지언이 어떤 임의의 함수의 전미분만큼 달라도 같은 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 얻는다.

== 같이 보기 ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[함수미분]]
* [[함수적분]]
* [[최소작용의 원리]]
* [[변분법]]
* [[뇌터 정리]]
* [[일반화 좌표]]
* [[해밀턴 역학]]
* [[라그랑주 역학]]
* [[라그랑주 점]]
* [[뇌터의 정리]]
* [[공변적 고전 장론]]
* [[스칼라장론]]
</div>

[[분류:동역학계]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:라그랑주 역학]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:수리물리학]]