라그랑주 정리 (군론) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|섬네일|[[정수]]의 덧셈군의 [[몫군]] <math>G</math>의 [[부분군]] <math>H</math>와 그 [[잉여류]]들]]
[[군론]]에서 '''라그랑주 정리'''({{llang|en|Lagrange’s theorem}})는 [[유한군]]의 [[부분군]]의 [[집합의 크기|크기]]가 원래 군의 크기의 [[약수]]라는 정리다.<ref name="Fraleigh">{{서적 인용
|성=Fraleigh
|이름=John B.
|기타=Katz, Victor 역사적 주해
|제목=A First Course in Abstract Algebra
|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs07edfral
|언어=en
|판=7
|출판사=Addison-Wesley
|날짜=2003
|isbn=978-0-201-76390-4
}}</ref>{{rp|100, §II.10, Theorem 10.10}}<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|12, §I.3, Proposition 2.2}}<ref name="Rose">{{서적 인용
|성=Rose
|이름=Harvey E.
|제목=A Course on Finite Groups
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=London
|날짜=2009
|isbn=978-1-84882-888-9
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-1-84882-889-6
}}</ref>{{rp|30, §2.3, Theorem 2.27}}

== 정의 ==
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[부분군]] <math>H\le G</math>가 주어졌다고 하자. '''라그랑주 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>|G|=|G:H||H|</math>
여기서 <math>|G:H|</math>는 <math>H</math>의 [[왼쪽 잉여류]]들의 집합의 [[집합의 크기|크기]]이며 (이는 [[오른쪽 잉여류]]들의 집합의 크기와 같다), <math>|G:H|</math>와 <math>|H|</math> 사이의 곱셈은 [[기수 (수학)|기수]]의 곱셈이다. 특히, <math>G</math>가 [[유한군]]일 경우, <math>|H|</math>는 <math>|G|</math>의 [[약수]]이다.

보다 일반적으로, 군 <math>G</math>의 부분군 <math>H\le G</math>과 이에 대한 부분군 <math>K\le H</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>|G:K|=|G:H||H:K|</math>

라그랑주 정리는 (<math>G</math>가 무한군일 수 있는 경우) [[선택 공리]]와 [[동치]]이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

== 증명 ==
우선, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>|gH|=|H|</math>이다. 이는 함수
:<math>H\to gH</math>
:<math>h\mapsto gh\qquad(h\in H)</math>
가 [[전단사 함수]]이기 때문이다.

또한 <math>H</math>의 왼쪽 잉여류들의 집합 <math>G/H</math>는 <math>G</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 <math>g,g'\in G</math>에 대하여, 만약 <math>gH\cap g'H\ne\varnothing</math>이라면, <math>g''\in gH\cap g'H</math>인 <math>g''\in G</math>가 존재한다.
:<math>g''=gh=g'h'</math>
인 <math>h,h'\in H</math>를 취하면
:<math>gH=ghH=g''H=g'h'H=g'H</math>
이다. 이에 따라, <math>G</math>는 <math>G/H</math> 속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 [[분리 합집합]]이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 <math>A\in G/H</math>에 대하여, <math>g_A\in A</math>인 군의 원소 <math>g_A\in G</math>를 취하는 함수 <math>g_\bullet\colon G/H\to G</math>가 존재하며, 이 경우 임의의 <math>A\in G/H</math>에 대하여 <math>A=g_AH</math>이다. (<math>G</math>가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,
:<math>|G|=\sum_{A\in G/H}|A|=\sum_{A\in G/H}|g_AH|=\sum_{A\in G/H}|H|=|G:H||H|</math>
가 성립한다.

만약 <math>G</math>가 유한군이라면, 위 등식의 <math>|G|</math>, <math>|G:H|</math>, <math>|H|</math>는 모두 양의 정수이므로, <math>|H|</math>는 <math>|G|</math>의 약수가 된다.

== 따름정리 ==
유한군 <math>G</math>의 임의의 원소 <math>g\in G</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>g</math>의 [[순환군|위수]] <math>\operatorname{ord}g</math>는 <math>|G|</math>의 약수이다. 이는 <math>\operatorname{ord}g</math>가 [[순환 부분군]] <math>\langle g\rangle\le G</math>의 크기이기 때문이다. 특히, 항상 <math>g^{|G|}=1_G</math>가 성립한다. 여기서 <math>1_G</math>는 <math>G</math>의 [[항등원]]이다. 이를 이용하면 [[페르마 소정리]]나 [[오일러 정리]]를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>n</math>과 [[서로소 아이디얼|서로소]]인 정수의 [[합동 산술|합동류]]들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 [[오일러 피 함수]] <math>\phi</math>에 대하여 <math>\phi(n)</math>이 되기 때문이다.

소수 크기의 군은 순환군이자 [[단순군]]이다. 즉, 유한군 <math>G</math>에 대하여, <math>|G|=p</math>가 소수라고 하자. 그렇다면 <math>g\ne 1_G</math>인 <math>g\in G</math>를 취할 수 있으며, <math>\operatorname{ord}g\mid p</math>이므로 <math>\operatorname{ord}g=1</math>이거나 <math>\operatorname{ord}g=p</math>이다. 그러나 <math>g\ne 1_G</math>이므로 <math>\operatorname{ord}g\ne 1</math>이므로 <math>\operatorname{ord}g=p</math>이며, 즉 <math>G=\langle g\rangle</math>는 <math>g</math>로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군 <math>H\le G</math>에 대하여, <math>|H|=1</math>이거나 <math>|H|=p</math>이며, 만약 <math>|H|=1</math>이라면 <math>H=\{1_G\}</math>, 만약 <math>|H|=p</math>라면 <math>H=G</math>이다. 즉, <math>G</math>는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히 <math>G</math>는 단순군이다.

== 역의 반례 ==
유한군 <math>G</math>와 양의 정수 <math>d</math>가 주어졌고, <math>d</math>가 <math>|G|</math>의 약수라고 할 때, 크기가 <math>d</math>인 <math>G</math>의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(4)</math>의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만, <math>\operatorname{Alt}(4)</math>는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다.<ref name="Fraleigh" />{{rp|145, §III.15, Example 15.6}} 그러나, [[쉴로브 정리]]에 따르면, <math>d</math>가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가 <math>d</math>인 <math>G</math>의 부분군은 항상 존재한다.

== 역사 ==
라그랑주는 이 정리를 [[1771년]] 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다.<ref>agrange, J. L. (1771) "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (part II), ''Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin'', pages 138-254</ref> 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 [[이탈리아]] 수학자 [[피에트로 아바티 마레스코티]](Pietro Abbati Marescotti)의 [[1803년]] 출판된 글에서였다.<ref>P. Abbati (1803) "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini da questo presentata il di 16. Décembre 1802", ''Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze'', vol. 10 (part 2), pages 385-409.</ref> 이 정리는 이후에 [[코시 정리 (군론)|코시 정리]]가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lagrange theorem}}
* {{매스월드|id=LagrangesGroupTheorem|title=Lagrange's group theorem}}

[[분류:군론 정리]]
[[분류:유한군]]