라그랑주 역학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{고전역학}}
[[파일:Topspun.jpg|right|200px|섬네일|팽이의 [[세차 운동]]은 [[뉴턴 역학]]을 통해선 분석이 매우 까다롭지만, 라그랑주 역학을 통해선 비교적 쉽게 분석이 가능하다.]]
'''라그랑주 역학'''({{llang|en|Lagrangian mechanics}})은 수학자 [[조제프루이 라그랑주]]가 기존의 [[고전역학]]을 새롭게 수학적 형식화하여 그의 논문 《해석 역학》<ref>Joseph-Louis Lagrange, ''Mécanique analytique'' (해석 역학), Courcier: 1788. 재출판본:  Cambridge University Press, 2009, {{ISBN|978-1-108-00174-8}}.</ref>을 통해 [[1788년]]에 발표한 이론이다.<ref name="autogenerated1">Stephen T. Thompson(2004), ''Classical Mechanics'', fifth edition, Thompson Brooks/Cole, pp.238</ref> 라그랑주 역학은 수학자 [[피에르 드 페르마]], 모페르튀 등으로부터 출발한 접근 방법인, [[최소 시간의 원리]]와 [[최소 작용의 원리]]에 기반한다. 작용은 [[라그랑지언]]의 [[선적분]]이며, 일종의 [[범함수]]이다. 작용을 극소로 만드는 곡선을 구하는 것은 결국 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 푸는 것으로 귀결되며, 이 편미방을 풀어냄으로써 물체의 궤적을 구할 수 있다.

== 라그랑주 역학과 뉴턴 역학의 차이점 ==
[[파일:Mécanique analytique.jpg|섬네일|left|200px|라그랑주의 논문 ''Mécanique analytique''. 이를 통해 라그랑주는 1788년, 그의 이론을 발표한다.]]

=== 주로 다루는 물리량의 차이 ===
[[뉴턴 역학]]에서는 외부에서 물체에 미치는 힘에 중점을 두고 벡터량들을 주로 다루지만, 라그랑주 역학은 물체의 [[운동 에너지]]와 [[위치 에너지]]같은 스칼라량에 중점을 두고 운동을 기술하고 있다. 벡터량에 비해 다루기 쉬운 스칼라량들을 다루고 있기 때문에, 복잡한 경우에는, 뉴턴 역학에 비해 라그랑주 역학이 더욱 더 유용하게 쓰인다. 뿐만 아니라, 힘으로 기술하기 어려운 [[장 (물리)|장]]의 개념을 포함하는 물리 현상등에도 적용이 가능하게 된다.

=== 사용하는 좌표계의 차이 ===
뉴턴 역학의 경우, 벡터량을 주로 다루기 때문에 [[직교좌표계]]와 같은 벡터량들을 다루기 쉬운 좌표계에서 운동을 기술한다. 반면에 라그랑주 역학은 [[일반화 좌표계]]를 사용한다. 이는 물리학에서의 운동의 분석을 더 쉽게 해준다. 예를 들어, 고리에 매달려서 돌아가는 구슬을 생각해 보자. [[뉴턴 역학]]에서는 구슬의 움직임을 구하려면 각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘들을 고려하기 위한 복잡한 방정식들을 다뤄야 한다. 하지만 라그랑주 역학에서는 구슬이 고리에 매달린 채로 움직일 수 있는 모든 경로들 중에서 작용을 최소화하는 것을 선택하기만 하면 된다. 각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘을 고려할 필요가 없기에 방정식의 수가 줄어드는 것이다.

=== 철학적 관점의 차이 ===
뉴턴 역학은 물체에 미치는 힘은 이에 따른 운동을 수반한다고 본다. 즉, 하나의 사건(원인)이 다른 사건(결과)을 일으킨다는 [[인과관계|인과론]]적인 역학이다. 하지만, 라그랑주 역학은 운동이 어떤 물리량 작용을 최소로 유지하며 움직인다는 [[최소 작용 원리]]를 따른다고 본다. 이 관점에 따르면 운동은 자연이 가지고 있는 어떤 목적을 달성하기 위한 결과로 간주된다. 따라서, 라그랑주 역학은 [[목적론]]적인 역학이라 할 수 있다.

== 라그랑주 역학의 중요성 ==
라그랑주가 공식화한 형태의 역학은 다양한 분야에 실용적으로 응용된다는 점 뿐만 아니라 [[물리학]]에 대한 보다 심도 깊은 이해를 가져다 주었다는 점에 그 중요성이 있다. 또한, 앞으로 발전한 [[양자장론]] 등의 현대 이론 물리학에 지대한 영향을 끼쳤다. [[양자장론]]은 라그랑지안의 양자장론 버전인 라그랑지안 밀도를 중심으로 서술된다. [[최소 작용의 원리]]와 라그랑주 역학은 [[뇌터 정리]]와 밀접한 연관이 있으며, 이를 통해 물리적 [[보존량]]과 계의 연속적 [[대칭성]] 사이에 관계가 맺어진다.
=== 양자역학에서의 라그랑주 역학 ===
라그랑주는 원래 고전역학을 묘사하는 것만이 목적이었지만, 그가 라그랑주 방정식을 유도하기 위해 도입한 '작용 원리'는 [[양자역학]]에도 응용되었다.
양자역학을 [[경로적분]]으로 서술하면 자연스럽게 [[작용]]과 [[라그랑지언]]이 등장한다. 이에 따라 [[정상작용원리]]는 [[경로적분]]에서 [[파동함수]]의 [[보강간섭]]에 인한 고전적 근사라고 말할 수 있다.  또한 라그랑주 역학과 [[뇌터 정리]]를 이용하면, 물리적 계의 라그랑주 운동방정식의 특정 항들 사이에 [[교환자]]를 삽입하여 자연스럽게 [[양자화 (물리학)|양자화]]할 수 있다.

=== 상대성 이론에서의 라그랑주 역학 ===
[[해밀턴 역학]]과 달리, 라그랑주 역학은 자연스럽게 상대론적 이론을 다룰 수 있다. 예를 들어, 상대론적 고전장론에서는 [[라그랑지언 밀도]]를 [[장 (물리학)|마당]]과 그 [[기울기 (벡터)|기울기]]의 함수로 정의한다. 이에 따라 [[최소 작용의 원리]]를 상대론적 장론 ([[고전전자기학]] 등)에 자연스럽게 적용할 수 있다. 이는 상대론적 양자장론에서도 그대로 적용할 수 있다. 또한 [[일반 상대성 이론]]에서도 라그랑주 역학과 비슷한 방식으로 [[힐베르트 작용]]을 정의 한 뒤 [[최소 작용의 원리]]를 적용하여 중력장방정식을 얻을 수 있다.

== 라그랑주 방정식 ==
라그랑주 역학의 운동방정식을 '''라그랑주 방정식'''({{lang|en|Lagrange's equation}})이라고 한다. 자세한 형태는 아래와 같다.<ref>[http://scienceworld.wolfram.com/physics/LagrangesEquations.html Lagrange's Equations -- from Eric Weisstein's World of Physics]</ref>
:<math>{d \over dt}  {\partial T \over \partial \dot{q}_\sigma}  - {\partial T \over \partial q_\sigma } = Q_\sigma \qquad \sigma = 1, \; \cdots , \; 3N-k</math>
[[보존계]]의 경우, 라그랑주 방정식은 다음과 같은 형태를 가지고, 이러한 방정식을 '''[[오일러-라그랑주 방정식]]'''({{lang|en|Euler-Lagrange equation}})이라고 한다.
:<math> {d \over dt} {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q_\sigma} } - {\partial \mathcal{L} \over \partial q_\sigma} = 0 , \qquad \sigma = 1, \;\cdots ,\;3N-k</math>
여기서,
: q : [[일반화 좌표]]
: σ : [[일반화 좌표]]를 나타내는 지표
: N : 입자의 수
: k : [[홀로노믹|홀로노믹 구속]]의 수
: t : 시간
: ℒ : [[라그랑지언]], T-U 로 정의
: T : [[운동 에너지]]
: U : [[퍼텐셜]]
이다. 보통, 오일러-라그랑주 방정식을 대부분의 라그랑주 역학에서 등장하는 문제를 푸는 데 사용하기 때문에 간단히 오일러-라그랑주 방정식을 라그랑주 방정식이라 부르는 경우가 많다.<ref name="autogenerated1" />

:{| class="toccolours" width="80%" style="text-align:left"
! 보존계에서의 라그랑주 방정식<ref>문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 76-7쪽.</ref>
|-
| 보존계의 경우 힘 F<sub>i</sub>는 다음과 같이 퍼텐셜 U를 통해 표현된다.
:<math>F_i = - {\partial U \over \partial x_i}</math>
일반화 힘을 퍼텐셜을 이용해 표현해보자.
:<math>Q_\sigma \equiv \sum_{i=1}^{3N} F_i {\partial x_i \over \partial q_\sigma} = - \sum_{i=1}^{3N} {\partial U \over \partial x_i} {\partial x_i \over \partial q_\sigma} = - {\partial U \over \partial q_\sigma}</math>
위와 U가 좌표만의 함수임을 이용하면
:<math>{d \over dt}  {\partial (T-U) \over \partial \dot{q}_\sigma}  - {\partial (T-U) \over \partial q_\sigma } = 0 \qquad \sigma = 1, \; \cdots , \; 3N-k</math>
이 되고 여기서 라그랑지언 ℒ을 다음과 같이 정의한다.
:<math>\mathcal{L} \equiv T - U</math>
이를 대입하면 최종적으로 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 얻는다.
:<math> {d \over dt} {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q_\sigma} } - {\partial \mathcal{L} \over \partial q_\sigma} = 0 , \qquad \sigma = 1, \;\cdots ,\;3N-k</math>
|}

== 예제 ==
=== 자유낙하 ===
점질량 m이 중력가속도 g를 받으면서 자유낙하하는 상황을 생각해보자. 뉴턴의 운동법칙을 통해 운동 방정식을 구해보면 <math>\ddot x = g</math>를 얻고, 최종적으로 낙하한 거리 x는 다음과 같음을 알 수 있다.
:<math>x(t) = \frac{1}{2} g t^2</math>
이를 라그랑주 역학을 이용해 풀어보자. 일반화 좌표는 x하나이고, 운동에너지와 위치에너지는
:<math>T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2</math>
:<math>V = - m g x \;</math>,
[[라그랑지언]]은
:<math>\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + m g x</math>.
이다. 여기에 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 쓰면
:<math>0 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} = m g - m \frac{\mathrm{d} \dot x}{\mathrm{d} t} </math>
이 되어
:<math>\ddot x = g</math>
임을 알 수 있고, 이는 [[뉴턴 역학]]에서의 결과와 같은 결과이다.

=== 단진동 운동 ===
상수가 k로 주어지는 단진동 운동의 [[라그랑지언]]은 다음과 같이 주어진다.
:<math>\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 -\frac{1}{2} k x^2</math>

여기서 [[일반화 좌표]]를 진동의 원점에서 움직인 거리 x 로 놓고 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 풀면,
:<math> m \ddot x + kx = 0</math>
이 되어 뉴턴의 운동 방정식과 같은 결과를 얻을 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[뉴턴 역학]]
* [[해밀턴 역학]]
* [[제한된 삼체문제]]
* [[최소 작용의 원리]]
* [[정준좌표계]]
* [[일반화 좌표계]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Lagrangian formalism for fields|이름=Dmitri|성=Sorokin|연도=2010|저널=Scholarpedia|권=5|호=8|쪽=10223|doi=10.4249/scholarpedia.10223}}

{{전거 통제}}

[[분류:고전역학]]
[[분류:라그랑주 역학|*]]