라그랑주 승수법 문서 원본 보기

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'''라그랑주 승수법'''(Lagrange乘數法, {{llang|en|Lagrange multiplier method}})은 제약이 있는 [[최적화 문제]]를 푸는 방법이다. 최적화하려 하는 값에 형식적인 '''라그랑주 승수'''(Lagrange乘數, {{llang|en|Lagrange multiplier}}) 항을 더하여, 제약된 문제를 제약이 없는 문제로 바꾼다. [[조제프루이 라그랑주]]가 도입하였다. 수학, [[라그랑주 역학]], [[경제학]], [[운용 과학]] 등에 쓰인다.

== 정의 ==
연속미분가능함수 <math>f\colon\mathbb R^D\to\mathbb R</math>와 <math>\mathbf g\colon\mathbb R^D\to\mathbb R^C</math>를 생각하자. <math>\mathbf g(\mathbf x)=0</math>인 제약 아래 <math>f(\mathbf x)</math>를 최적화하는 문제를 생각하자. 이 문제는 '''라그랑주 승수법'''을 써 다음과 같이 풀 수 있다. 다음과 같은 함수 <math>F\colon\mathbb R^{D+C}\to\mathbb R</math>을 정의하자.
:<math>F(\mathbf x,\mathbf y)=f(\mathbf x)+\mathbf y\cdot\mathbf g(\mathbf x)</math>
<math>F</math>의 [[정류점]]({{lang|en|stationary point}})은 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 통하여 찾을 수 있다. 그렇다면, 다음을 보일 수 있다.
* 만약 <math>(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb R^{D+C}</math>가 <math>F</math>의 정류점이라면, <math>\mathbf x</math>는 <math>\mathbf g=0</math>으로 제약한 <math>f</math>의 정류점이다.
* 만약 <math>\mathbf x\in\mathbb R^D</math>가 <math>\mathbf g=0</math>으로 제약한 <math>f</math>의 정류점이라면, <math>(\mathbf x,\mathbf y)</math>가 <math>F</math>의 정류점인 <math>\mathbf y\in\mathbb R^C</math>가 존재한다..
여기서 보조변수 <math>\mathbf y\in\mathbb R^C</math>를 '''라그랑주 승수'''({{llang|en|Lagrange multiplier}})라고 한다.

[[최적화 이론]]에서는 (국소적) 극점({{lang|en|extremum}})을 찾는다. 극점은 정류점의 부분집합이므로, 정류점을 모두 찾아 극점인지 확인하면 된다. 반면, [[라그랑주 역학]]에는 단순히 정류점만을 찾으면 되므로 이는 필요없다.

== 같이 보기 ==
* [[오일러-라그랑주 방정식]]
* [[제약된 극값 정리]]
* [[카루시-쿤-터커 조건]]

== 참고 문헌 ==
* [http://www.slimy.com/~steuard/teaching/tutorials/Lagrange.html Conceptual introduction] (plus a brief discussion of Lagrange multipliers in the [[calculus of variations]] as used in physics)
* [https://web.archive.org/web/20110725052041/http://www.eece.ksu.edu/~khc/notes/lagrange.pdf Lagrange Multipliers for Quadratic Forms With Linear Constraints] by Kenneth H. Carpenter
For additional text and interactive applets
* [http://www.umiacs.umd.edu/~resnik/ling848_fa2004/lagrange.html Simple explanation with an example of governments using taxes as Lagrange multipliers]
* [http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.02/f07/tools/LagrangeMultipliersTwoVariables.html Applet]
* [https://web.archive.org/web/20061110031805/http://www.math.gatech.edu/~carlen/2507/notes/lagMultipliers.html Tutorial and applet]
* [http://midnighttutor.com/Lagrange_multiplier.html Video Lecture of Lagrange Multipliers]
* [http://academicearth.com/lectures/lagrange-multipliers MIT Video Lecture on Lagrange Multipliers]{{깨진 링크|url=http://academicearth.com/lectures/lagrange-multipliers }}
* [http://www.athenasc.com/NLP_Slides.pdf Slides accompanying Bertsekas's nonlinear optimization text], with details on Lagrange multipliers (lectures 11 and 12)
* http://eom.springer.de/L/l057190.htm

[[분류:수학적 최적화]]