라그랑주 괄호 문서 원본 보기

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'''라그랑주 괄호'''({{lang|en|Lagrange bracket}})는 [[조제프루이 라그랑주]]가 [[고전역학]]을 새롭게 공식화 하면서 도입한 개념으로, [[푸아송 괄호]]와 가까이 관련되어 있다. 하지만, 푸아송 괄호와 달리 더 이상 자주 사용되진 않는다.

== 정의 ==
(q<sub>1</sub>, &hellip;, q<sub>n</sub>, p<sub>1</sub>, &hellip;, p<sub>n</sub>)를 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]의 [[정준좌표]]라 하자. 모든 정준좌표가 두 변수 u와 v로 표현 가능할 때, 라그랑주 괄호는 다음과 같이 정의한다.
:<math>
[ u, v ]_{p,q} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial q_i}{\partial u} \frac{\partial p_i}{\partial v} - \frac{\partial p_i}{\partial u} \frac{\partial q_i}{\partial v} \right).
</math>

== 성질 ==

* 라그랑주 괄호는 [[정준좌표]] (q<sub>i</sub>, p<sub>i</sub>)의 변환에 영향을 받지 않는다. (Q<sub>i</sub>, P<sub>i</sub>)를 새로운 정준좌표라 하면,
::<math> Q_i=Q_i(q_i,p_i), P_i=P_i(q_i,p_i) </math>
:는 [[정준변환]]이 되고, 이 변환에 대해선 라그랑주 괄호는 불변량이 된다. 즉,
::<math> [ u, v]_{q,p} = [u , v]_{Q,P}.</math>
:이다. 때문에, 아래첨자로 표시된 정준좌표는 자주 생략되기도 한다.

* &Omega;를 2n차원의 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]] W의 [[심플렉틱 형식]]이라 하고 u<sub>1</sub>,&hellip;,u<sub>2n</sub>이 W상의 [[계_(물리학)|계]]의 좌표라고 하자. 이 때, [[정준좌표]] (q<sub>i</sub>, p<sub>i</sub>)는 좌표 u에 대한 함수로 나타낼 수 있고, 아래의 라그랑주 괄호로 정의된 행렬
:: <math> [ u_i, u_j ]_{p,q}, \quad 1\leq i,j\leq 2n </math>
:은 ''&Omega;''를 [[텐서]]로 취급할 때의 좌표 u로 기술된 성분을 의미한다. 이 행렬의 [[역행렬]]은 좌표 u위에서 다음과 같은 푸아송 괄호 {·,·}로 정의된 행렬을 의미하게 된다.
:: <math> \{u_i, u_j\}, \quad 1\leq i,j\leq 2n </math>
:이를 수식으로 쓰면 다음과 같다.
: <math> \sum_i^2n \{u_i, u_j\} [ u_i, u_k ]_{p,q} = \delta_{jk} </math>
:여기서 &delta;<sub>jk</sub>는 [[크로네커 델타]]이다.

* 위의 성질에 대한 따름정리로 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]의 좌표 (Q<sub>1</sub>, &hellip;, Q<sub>n</sub>, P<sub>1</sub>, &hellip;, P<sub>n</sub>)이 [[정준좌표]]이면 좌표 사이의 라그랑주 괄호는
:: <math> [Q_i, Q_j]_{p,q}=0, \quad [P_i,P_j]_{p,q}=0,\quad [Q_i, P_j]_{p,q}=-[P_j, Q_i]_{p,q}=\delta_{ij}. </math>
:이 되며, 이 역 또한 참이다.

== 같이 보기 ==
* [[라그랑주 역학]]
* [[해밀턴 역학]]
* [[푸아송 괄호]]

== 참고 문헌 ==
* [[Cornelius Lanczos]], ''The Variational Principles of Mechanics'', Dover (1986), {{ISBN|0-486-65067-7}}.
* Iglesias, Patrick, ''Les origines du calcul symplectique chez Lagrange'' [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277.

== 외부 링크 ==
* A.P. Soldatov (2001), [http://eom.springer.de/L/l057130.htm "Lagrange bracket"], in Hazewinkel, Michiel, ''Encyclopaedia of Mathematics'', Kluwer Academic Publishers, {{ISBN|978-1556080104}}

[[분류:이항연산]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:라그랑주 역학]]
[[분류:해밀턴 역학]]