라게르 다항식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Laguerre poly.svg|섬네일|오른쪽|300px|라게르 다항식의 그래프]]
[[수학]]에서 '''라게르 다항식'''(Laguerre多項式, {{llang|en|Laguerre polynomial}})은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다. [[양자역학]] 등에서 등장한다.

== 정의 ==
'''라게르 다항식''' <math>L_n</math>은 다음과 같은 로드리게스 공식({{llang|en|Rodrigues formula}})으로 정의된다.
:<math>L_n(x)=\frac1{n!}\exp(x)\frac{d^n}{dx^n}\exp(-x)x^n</math>
[[물리학]]에서는 <math>1/n!</math> 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다.

== 표 ==
라게르 다항식의 값들은 다음과 같다. {{OEIS|A021010}}
{| class="wikitable"
|-
! ''n''
! ''n''!''L<sub>n</sub>''(''x'')
|-
| align="center" | 0 || <math>1</math>
|-
| align="center" | 1 || <math>-x+1</math>
|-
| align="center" | 2
| <math>{1\over2} (x^2-4x+2)</math>
|-
| align="center" | 3
| <math>{1 \over 6} (-x^3+9x^2-18x+6)</math>
|-
| align="center" | 4
| <math>{1\over24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)</math>
|-
| align="center" | 5
| <math>{1\over120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)</math>
|-
| align="center" | 6
| <math>{1 \over 720} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)</math>
|}

== 성질 ==
=== 직교성 ===
라게르 다항식들은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.
:<math>\int_{0}^\infty L_m(x)L_n(x)e^{-x}=\delta_{mn}</math>
여기서 <math>\delta_{mn}</math>은 [[크로네커 델타]]이다.

=== 점화식과 생성함수 ===
라게르 다항식은 다음과 같은 [[점화식]]을 따른다.
: <math>L_{n+1}(x)=\frac1{n+1} \left( (2n+1- x)L_n(x)-nL_{n-1}(x)\right)</math>
라게르 다항식의 [[생성함수 (수학)|생성함수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_n^\infty  t^nL_n(x)=\frac1{1-t}\exp\left(\frac{-tx}{1-t}\right)</math>
이를 전개하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.
:<math>L_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom nk \frac{(-1)^k}{k!}x^k</math>

=== 갈루아 군 ===
라게르 다항식은 항상 <math>\mathbb Q[x]</math>의 [[기약 다항식]]이다.

라게르 다항식의 [[갈루아 군]]은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이다.<ref name="Schur-ohne-affekt">{{저널 인용|성=Schur|이름=Issai|저자링크=이사이 슈어|제목=Gleichungen ohne Affekt|언어=de|저널=Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse|권=1930년|쪽=443–449|날짜=1930|jfm=56.0110.02}}</ref><ref name="Schur-affketlose">{{저널 인용|성=Schur|이름=Issai|저자링크=이사이 슈어|제목=Affektlose Gleichungen in der Theorie der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome|언어=de|저널=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|권=165|쪽=52–58|날짜=1931|issn=0075-4102|doi=10.1515/crll.1931.165.52|mr=1581272|zbl=0002.11501|jfm=57.0125.05|eudml=149767}}</ref>
:<math>\operatorname{Gal}(L_n)\cong\operatorname{Sym}(n)</math>

라게르 다항식의 [[미분]]의 [[갈루아 군]]은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이거나 [[교대군]]이다.<ref name="Schur-affketlose"/>
:<math>\operatorname{Gal}\left(\frac d{dx}L_n\right)\cong\begin{cases}
\operatorname{Sym}(n) & \not\exists k\colon n=4k(k+1) \\
\operatorname{Alt}(n) & \exists k\colon n=4k(k+1)
\end{cases}
</math>

== 역사 ==
에드몽 라게르({{llang|fr|Edmond Laguerre}})가 1878년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Edmond|성=Laguerre|제목=Sur le transformations des fonctions elliptiques|url=https://eudml.org/doc/85398|issn=0037-9484|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|권=6|날짜= 1878|쪽=72–78|언어=fr}}</ref>

== 응용 ==
라게르 다항식은 [[양자역학]]에서 3차원 등방 [[양자 조화 진동자]]를 분석할 때 등장한다.

== 같이 보기 ==
* [[야코비 다항식]]
* [[에르미트 다항식]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Laguerre polynomials}}
* {{매스월드|id=LaguerrePolynomial|title=Laguerre polynomial}}

{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:다항식]]
[[분류:직교 다항식]]
[[분류:특수 초기하함수]]