띠행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:BandDiagonalwidth-matrix001.svg|섬네일|띠행렬]]
[[행렬론]]에서 '''띠행렬'''(-行列, {{llang|en|band matrix}})은 모든 0이 아닌 성분이 [[주대각선]] 주변에 집중된 [[희소 행렬]]이다.<ref name="Golub">{{서적 인용|성1=Golub|이름1=Gene H.|성2=Van Loan|이름2=Charles F.|제목=Matrix computations|url=https://archive.org/details/matrixcomputatio0004golu|언어=en|판=4|총서=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences|출판사=The Johns Hopkins University Press|위치=Baltimore|날짜=2013|isbn=978-1-4214-0794-4|mr=3024913|zbl=1268.65037|lccn=2012943449}}</ref>

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 원소를 성분으로 하는 <math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math>의 '''하대역폭'''(下帶域幅, {{llang|en|lower bandwidth}})은 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 <math>p</math>이다.<ref name="Golub" />{{rp|15, §1.2.1}}
* 만약 <math>i>j+p</math>라면, <math>M_{ij}=0</math>이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 원소를 성분으로 하는 <math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math>의 '''상대역폭'''(上帶域幅, {{llang|en|upper bandwidth}})은 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 <math>p</math>이다.<ref name="Golub" />{{rp|15, §1.2.1}}
* 만약 <math>j>i+p</math>라면, <math>M_{ij}=0</math>이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 원소를 성분으로 하는 <math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math>의 '''대역폭'''(帶域幅, {{llang|en|bandwidth}})은 <math>M</math>의 하대역폭이자 상대역폭인 가장 큰 음이 아닌 정수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 가장 큰 음이 아닌 정수 <math>k</math>이다.
* 만약 <math>|i-j|>k</math>라면, <math>M_{ij}=0</math>이다.

예를 들어, 하대역폭 2 및 상대역폭 1를 갖는 9×4 띠행렬은 다음과 같은 꼴이다 (<math>M_{ij}\in R</math>).
:<math>
  \begin{pmatrix}
    M_{11} & M_{12} & 0      & 0      \\
    M_{21} & M_{22} & M_{23} & 0      \\
    M_{31} & M_{32} & M_{33} & M_{34} \\
    0      & M_{42} & M_{43} & M_{44} \\
    0      & 0      & M_{53} & M_{54} \\
    0      & 0      & 0      & M_{64} \\
    0      & 0      & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0      \\
    0      & 0      & 0      & 0
  \end{pmatrix}
</math>

== 예 ==
특수한 하대역폭·상대역폭을 갖는 띠행렬에는 다음과 같은 이름이 붙는다.<ref name="Golub" />{{rp|15, §1.2.1, Table 1.2.1}}
{| class="wikitable"
! 하대역폭 !! 상대역폭 !! 이름
|-
| 0 || 0 || [[대각 행렬]]
|-
| 0 || 1 || 상쌍대각 행렬({{llang|en|upper bidiagonal matrix}})
|-
| 1 || 0 || 하쌍대각 행렬({{llang|en|lower bidiagonal matrix}})
|-
| 1 || 1 || 3중 대각 행렬({{llang|en|tridiagonal matrix}})
|-
| 2 || 2 || 5중 대각 행렬({{llang|en|pentadiagonal matrix}})
|-
| 3 || 3 || 7중 대각 행렬({{llang|en|heptadiagonal matrix}})
|-
| 0 || <math>n-1</math> || [[상삼각 행렬]]
|-
| <math>m-1</math> || 0 || [[하삼각 행렬]]
|-
| 1 || <math>n-1</math> || [[상헤센베르크 행렬]]
|-
| <math>m-1</math> || 1 || [[하헤센베르크 행렬]]
|}

== 응용 ==
=== 띠저장 ===
[[컴퓨팅]]에서, 좁은 대역폭의 띠행렬을 더 작은 크기의 행렬로서 저장하여 행렬 알고리즘의 저장 효율을 높일 수 있다. 이를 '''띠저장'''(-貯藏, {{llang|en|band storage}})이라고 한다.

구체적으로, 하대역폭 <math>p</math> 및 상대역폭 <math>q</math>를 갖는 <math>n\times n</math> 띠행렬 <math>M</math>은 다음과 같은 <math>(p+q+1)\times n</math> 행렬 <math>\operatorname{band}(M)</math>에 대응하며, 만약 <math>p,q\ll n</math>일 경우 이는 원래의 행렬보다 훨씬 작다.<ref name="Golub" />{{rp|17, §1.2.5, (1.2.1)}}
:<math>\operatorname{band}(M)_{ij}=
  \begin{cases}
    M_{i+j-q-1,j} & i+j-q-1\in\{1,\dots,m\} \\
    0 & i+j-q-1\not\in\{1,\dots,m\}
  \end{cases}
</math>

예를 들어, 하대역폭 1 및 상대역폭 1를 갖는 6×6 띠행렬
:<math>M=
  \begin{pmatrix}
    M_{11} & M_{12} & 0      & 0      & 0      & 0      \\
    M_{21} & M_{22} & M_{23} & 0      & 0      & 0      \\
    0      & M_{32} & M_{33} & M_{34} & 0      & 0      \\
    0      & 0      & M_{43} & M_{44} & M_{45} & 0      \\
    0      & 0      & 0      & M_{54} & M_{55} & M_{56} \\
    0      & 0      & 0      & 0      & M_{65} & M_{66} \\

  \end{pmatrix}
</math>
은 다음과 같은 3×6행렬로 저장할 수 있다.
:<math>\operatorname{band}(M)=
  \begin{pmatrix}
    0      & M_{12} & M_{23} & M_{34} & M_{45} & M_{56} \\
    M_{11} & M_{22} & M_{33} & M_{44} & M_{55} & M_{66} \\
    M_{21} & M_{32} & M_{43} & M_{54} & M_{65} & 0
  \end{pmatrix}
</math>

== 같이 보기 ==
* [[대각 행렬]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Bandwidth|제목=Bandwidth}}

{{전거 통제}}

[[분류:성긴 행렬]]