딸림표현 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''딸림표현'''(-表現, {{llang|en|adjoint representation}})은 어떤 [[리 군]]이 스스로의 [[리 대수]] 위에 가지는 표준적인 [[군의 표현|표현]]이다.

== 정의 ==
[[리 군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\phi\colon G\to\operatorname{Aut}(G)</math>
:<math>\phi\colon g\mapsto \phi_g</math>
:<math>\phi_g\colon h\mapsto ghg^{-1}\qquad(g,h\in G)</math>
이제, 그 원점 <math>1\in G</math>에서의 [[밂 (미분기하학)|밂]]을 취하자.
:<math>\mathrm D_1(\phi_g) \colon \mathrm T_1G\to\mathrm T_1G</math>
이제, <math>\mathrm T_1G=\mathfrak g</math>는 [[리 대응]] 아래 <Math>G</math>에 대응하는 [[리 대수]]이며, <math>\mathrm D_1(\phi_g)\colon \mathfrak g\to\mathfrak g</math>는 [[리 대수]]의 [[자기 사상|자기]] [[준동형]]이다. 즉, 이는 사상
:<math>\operatorname{Ad}\colon G\to\operatorname{Aut}(\mathfrak g)</math>
를 정의한다. 특히, 만약 <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수]] 구조를 잊고 단순히 [[실수 벡터 공간]]으로 간주한다면, 이는 <math>G</math>의 유한 차원 실수 [[군의 표현|표현]]을 이룬다. 이를 [[리 군]] <math>G</math>의 '''딸림표현'''이라고 한다.

=== 리 대수의 딸림표현 ===
임의의 [[가환환]] <Math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사상
:<math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\mathfrak{der}(\mathfrak g)\subseteq\operatorname{End}_K(\mathfrak g)</math>
:<math>\operatorname{ad}_x\colon y\mapsto [x,y]</math>
은 <math>\mathfrak g</math>의, 스스로 위의 [[리 대수 미분]]의 [[리 대수]]로 가는 리 대수 준동형이며, 특히 <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수의 표현|표현]]으로 여겨질 수 있다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''딸림표현'''이라고 한다.

== 성질 ==
[[리 군]] <math>G</math>의 ([[리 대응]] 아래 대응하는) [[리 대수]]가 <math>\mathfrak g</math>라고 하자. 그렇다면, 그 리 군 딸림표현
:<math>\operatorname{Ad}\colon G\to\operatorname{Aut}(\mathfrak g)</math>
의, 원점 <math>1\in G</math>에서의 [[밂 (미분기하학)|밂]]을 취하자.
:<math>\mathrm T_1\operatorname{Ad}\colon \mathrm T_1G\to\mathrm T_0 \operatorname{Aut}(\mathfrak g)</math>
그런데
:<math>\mathrm T_1G = \mathfrak g</math>
:<math>\mathrm T_0\operatorname{Aut}(\mathfrak g) = \mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>
이며,
:<math>\operatorname{ad}_{\mathfrak g} = \mathrm D_1\operatorname{Ad}_G</math>
임을 보일 수 있다.

== 예 ==
[[리 대응]] 아래, [[아벨 군|아벨]] [[리 군]] <math>G</math>의 [[리 대수]]는 모든 [[리 괄호]]가 0인 벡터 공간이다. 이 경우, <math>G</math>의 딸림표현은 [[항등 함수]]로 가는 [[상수 함수]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Adjoint representation of a Lie group}}
* {{eom|title=Adjoint action}}
* {{매스월드|id=AdjointRepresentation|title=Adjoint representation}}
* {{nlab|id=adjoint representation|title=Adjoint representation}}
* {{nlab|id=adjoint action|title=Adjoint action}}
* {{nlab|id=adjoint bundle|title=Adjoint bundle}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리 대수]]