딕맨 함수 문서 원본 보기

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딕맨 함수 또는 딕맨-드 브루인 함수(Dickman–de Bruijn function)
<math>\rho</math>는 주어진 경계까지 매끄러운 수의 비율을 추정하는 데 사용되는 특수 함수이다. 이것은 수학자 칼 딕맨 (Karl Dickman)에 의해 처음으로 연구되었는데 그는 수학 논문에서 그 정의를 내렸고<ref>{{저널 인용|first=K. |last=Dickman |title=On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude |journal=Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik |volume=22A |issue=10 |year=1930 |pages=1–14 }}</ref>, 후에 네덜란드 수학자 드 브루인(Nicolaas Govert de Bruijn)에 의해 연구되었다.<ref>{{저널 인용|first=N. G. |last=de Bruijn |url=http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597499.pdf |title=On the number of positive integers ≤ ''x'' and free of prime factors > ''y'' |journal=Indagationes Mathematicae |volume=13 |year=1951 |pages=50–60 }}</ref><ref>{{저널 인용|first=N. G. |last=de Bruijn |url=http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597534.pdf |title=On the number of positive integers ≤ ''x'' and free of prime factors > ''y'', II |journal=Indagationes Mathematicae |volume=28 |issue= |year=1966 |pages=239–247 }}</ref>

== 정의 ==
딕맨-드 브루인(Dickman-de Bruijn) 함수 <math>\rho(u)</math>는 지연 미분 방정식을 만족하는 연속 함수이다.

:<math>u\rho'(u) + \rho(u-1) = 0\,</math>

초기 조건 <math>\rho(u) = 1</math>에 대해. 딕맨(Dickman)은 다음과 같이 증명했다. <math> a </math>는 고정되어 있다.

:<math>\Psi(x, x^{1/a})\sim x\rho(a)\,</math>

:<math>\Psi(x,y)</math>이하의 y - smooth (또는 y - friable ) 정수의 수이다.

라마스와미(Ramaswami)는 나중에 고정 <math> a </math>에 대해 엄격한 증거를 제시했으며,<ref>{{저널 인용|first=V. |last=Ramaswami |url=http://www.ams.org/bull/1949-55-12/S0002-9904-1949-09337-0/S0002-9904-1949-09337-0.pdf |title=On the number of positive integers less than <big>x</big> and free of prime divisors greater than &nbsp; ''x''<sup>''c''</sup> |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=55 |issue=12 |year=1949 |pages=1122–1127 |doi= 10.1090/s0002-9904-1949-09337-0 | mr=0031958}}</ref>
:<math>\Psi(x,x^{1/a})</math>에 점근한다,
:<math>x \rho(a)</math> 오차를 감안하고서,

:<math>\Psi(x,x^{1/a})=x\rho(a)+O(x/\log x)</math>

[[점근 표기법|<math>{\color{blue}{big O}}</math> 표기법]]



== 같이 보기 ==
* [[골롬-딕맨 상수]]


== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:수학 상수]]
[[분류:해석적 수론]]