디리클레 L-함수 문서 원본 보기

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'''디리클레 L-함수'''(Dirichlet L-Function)의 [[디리클레 급수]](Dirichlet Series) 형식은,
:<math>L_k(s,\chi) = \sum_{n=1}^{\infty} {{\chi_{k}(n)} \over {n^{s}}}</math> <math>\qquad   \chi_{k}(n) </math>는 [[디리클레 지표]]
디리클레 L-함수는 다른 [[L-함수]]계열처럼 가산(덧셈)과 곱셈의 수학적 상관관계를 직접적으로 보여주는 [[리만 제타 함수]]를 근간으로 하는 특수 함수이다.

[[소수 (수론)|소수]]는 리만 제타 함수에서 보여지듯이 가산과 곱셈사이의 연결을 이해하는 중요한 정보이다.

[[페터 구스타프 르죈 디리클레|디리클레]]가 무한히 많은 소수들이 포함되어 있음을 증명하는 [[디리클레 등차수열 정리]]에서 디리클레 L-함수(Dirichlet L-Function)를 사용했다.

* [[디리클레 베타 함수]]
:<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}</math>
:<math>\beta(s) = L_{-4} (s)</math>
:<math> L_{-4} (1)= {1\over4}\pi</math>

* [[리만 제타 함수]]
:<math>\zeta(s) = L_{+1} (s)</math>
:<math> L_{+1} (1)= \infty</math>

* [[디리클레 람다 함수]]
:<math>\lambda(s)= \sum_{n=0}^{\infty} {{1}\over{(2n+1)^s}}</math>
:<math>\lambda(s)= (1-2^{-s}) \zeta(s)</math> <math>\qquad , \zeta(s)</math>[[리만 제타 함수]]

따라서,
:<math>{{\lambda(s)}\over { \zeta(s)}}= (1-2^{-s})</math>
:<math>{{ \zeta(s)}\over {\lambda(s)}}= {{1}\over{(1-2^{-s})}}</math>
:<math>{{ \zeta(s)}}= {{{\lambda(s)}}\over{(1-2^{-s})}}</math>
따라서,
:<math> L_{+1} (s)=\zeta(s) </math>
:<math> L_{+1} (s)=\zeta(s)= {{{\lambda(s)}}\over{(1-2^{-s})}} </math>
:<math> L_{+1} (1)= \infty</math>

== 다른 함수와의 연관성 ==
[[모듈러 형식|모듈러 함수]]와 [[푸리에 급수]]와의 연관성<ref>Hecke, E. "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung." Math. Ann. 112, 664-699, 1936</ref>
:<math> f(\tau) = \sum_{n=0}^{\infty} c(n)e^{2\pi i \tau n}</math>
:<math> \quad = c(0)+\sum_{n=1}^{\infty} c(n)e^{2\pi i \tau n}</math>
:<math> f \left( {{a \tau +b}\over{c \tau +d}} \right) = (c \tau +d)^k f(\tau) </math>
:<math> \begin{vmatrix}  a & b  \\ c & d  \end{vmatrix} </math>
[[모듈러 군]]의 감마<math>(\Gamma)</math> 멤버이다.

== 특수값 ==
:<math>L_{-8}(1)= {\pi \over 2\sqrt{2}}</math>
:<math>L_{-7}(1)= {\pi \over \sqrt{7}}</math>
:<math>L_{-3}(1)= {1\over9}{\pi  \sqrt{3}}</math>
:<math>L_{+5}(1)= {2\over5}{\sqrt{5}} \ln \phi</math>
:<math>L_{+8}(1)= {{\ln(1+{\sqrt{2}} )}\over{\sqrt{2}} } </math>
:<math>L_{+12}(1)= {{\ln(2+{\sqrt{3}} )}\over{\sqrt{3}} }</math>
:<math>L_{+13}(1)= {2 \over {\sqrt{13}}} \ln \left({{3+{\sqrt{13}} }\over{2} }\right)</math>
:<math></math>
:<math>L_{-4}(2)= K</math>
:<math>L_{-3}(2)= {1\over9}\left( \psi_1 {\left( {1\over3}\right)} -\psi_1{ \left( {2\over3}\right)} \right)</math>
:<math>L_{+1}(2)= {1\over6} \pi^2</math>

:<math>K</math>: [[카탈랑 상수]], <math>\psi</math>: [[폴리감마 함수|트리감마 함수]]

== 같이 보기 ==
* [[디리클레 등차수열 정리]]
* [[리만 제타 함수]]
* [[후르비츠 제타 함수]]
* [[L-함수]]

== 참고 ==
* Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:소수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]