디리클레 합성곱 문서 원본 보기

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'''디리클레 합성곱'''(Dirichlet convolution) 혹은 '''디리클레 [[곱셈적 함수#포갬(합성곱 ; Convolution)|포갬]]'''은 [[수론적 함수]](arithmetic function)의 집합에서 정의되는 [[이항연산]](binary operation)으로, [[정수론|수론]]에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 [[페터 구스타프 르죈 디리클레|르죈 디리클레]]의 이름에서 유래하였다.

== 정의 ==
''f'', ''g''가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, ''f'', ''g''의 디리클레 포갬 ''f'' * ''g''는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.
:<math>
(f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d)
</math>
여기서 덧셈은 ''n''의 모든 양의 약수 ''d''에 대해 이루어진다.

== 성질 ==

이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:
* [[닫힘 (수학)|닫혀]]있다: f와 g가 모두 [[곱셈적 함수|곱셈적]]이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.)
* [[교환법칙]]: ''f'' * ''g'' = ''g'' * ''f''
* [[결합법칙]]: (''f'' * ''g'') * ''h'' = ''f'' * (''g'' * ''h'')
* [[분배법칙]]: ''f'' * (''g'' + ''h'') = ''f'' * ''g'' + ''f'' * ''h''
* [[항등원]]: ''f'' * &epsilon; = &epsilon; * ''f'' = ''f'', 여기서 &epsilon;은 n = 1에서 &epsilon;(''n'') = 1, n > 1에서 &epsilon;(''n'') = 0으로 정의되는 함수.
* [[역원]]: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 ''f'' * ''g'' = &epsilon;를 만족한다.

덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 &epsilon;을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 [[가환환]](commutative ring)을 이루고, 이를 '''디리클레 환'''(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 ''f''(1) &ne; 0 을 만족하는 f들이다.

나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 &epsilon;을 항등원으로 하는 [[아벨 군|가환군]](abelian group)을 이룬다. 

<!-- [[곱셈적 함수]] 항목에 몇가지 중요한 곱셈적 함수간의 포갬으 관계식의 예를 찾아볼 수 있다. -->
[[곱셈적 함수]]에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.

== 역원의 계산 ==
주어진 수론적 함수 <math>f(n)</math>에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 <math>f^{-1}(n)</math>이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.
:<math>f^{-1}(1) = \frac {1}{f(1)}</math> 
그리고 <math>n>1</math>일 경우는 다음과 같다.
:<math>f^{-1}(n) = \frac {-1}{f(1)}\sum_{d|n~~d<n} f\left(\frac{n}{d}\right) f^{-1}(d).</math>
예를 들어, 모든 <math>n</math>에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 [[뫼비우스 함수]]가 된다. 더 일반적인 관계는 [[뫼비우스 반전 공식]]에 의해 유도된다.

== 디리클레 급수와의 관계 ==

''f''가 수론적 함수이면, '''[[디리클레 급수|L-급수]]'''(L-series)는 다음과 같이 정의된다.
급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,
:<math>
L(f,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}
</math>
L-급수의 곱은 [[디리클레 합성곱|디리클레 포갬]]과 다음 관계가 있다.
좌변이 존재하는 모든 s에 대해,
:<math>
L(f,s) L(g,s) = L(f*g,s)
</math>
위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.

== 수론적 함수의 미분과의 관계 ==
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 [[미분]]은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.

주어진 산술함수 <math>f(n)</math>의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 <math>\Lambda</math>는 [[망골트 함수]](Mangoldt function)이다.
:<math>f'(n) = f(n) \log n\;</math>
예를 들어, 모든 <math>n</math>에 대해 1 인 수론적 함수 <math>u(n)</math>이 있다고 할 때, 관계식 <math>\sum_{d|n}\Lambda(d) = \log n</math> 때문에 다음이 성립한다
:<math>\Lambda * u = u'</math>
위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.<ref name="Introduction to Analytic Number Theory">{{서적 인용
  | 성 = Apostol
  | 이름 = Tom
  | 제목 = Introduction to Analytic Number Theory
  | 출판사 = Springer
  | 날짜 = 1998
  | 쪽 = 45
  | doi = 
  | ISBN = 978-0387901633
}}</ref>

*<math>(f + g)' = f' + g'</math>
*<math>(f * g)' = f'*g + f*g'</math>
*<math>(f^{-1})' = -f'*(f*f)^{-1}</math>

== 같이 보기 ==
* [[수론적 함수]]
* [[뫼비우스 반전 공식]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:수론]]
[[분류:수론적 함수]]