디리클레 판정법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''디리클레 판정법'''({{llang|en|Dirichlet's test}})은 [[실수 항 급수]]의 [[수렴 판정법]]의 하나다. 이에 따르면, [[유계 집합|유계]] [[부분합]]을 갖는 급수에 0으로 수렴하는 [[단조수열]]을 계수로서 곱한 급수는 수렴한다. [[교대급수 판정법]]을 일반화한다. 디리클레 판정법의 표준적인 증명은 유한합의 [[아벨 변환]]을 사용한다. [[이상 적분]]에 대한 디리클레 판정법은 [[제2 적분 평균값 정리]]를 통하여 보일 수 있는데, 이에 대한 증명은 [[아벨 변환]]을 필요로 한다.

== 정의 ==
=== 실수 항 급수 ===
두 [[실수 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>이 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
* 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>의 [[부분합]]은 [[유계 수열]]이다. 즉, <math>\sup_{n\in\mathbb N}\left|{\sum_{k=0}^na_k}\right|<\infty</math>
* <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>은 [[단조수열]]이다. 즉, <math>b_0\ge b_1\ge b_2\ge\cdots</math>이거나 <math>b_0\le b_1\le b_2\le\cdots</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}b_n=0</math>

'''디리클레 판정법'''에 따르면, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nb_n</math>
는 [[수렴]]한다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|182}}<ref name="Knopp">{{서적 인용|성=Knopp|이름=Konrad|번역자-성=Young|번역자-이름=R. C. H.|제목=Theory and application of infinite series|언어=en|판=2|기타=Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young.|출판사=Blackie & Son|위치=[[런던]]-[[글래스고]]|날짜=1951|zbl=0042.29203}}</ref>{{rp|315, °2}}
{{증명|각주=<ref name="김락중" />}}
:<math>S_n=\sum_{k=0}^na_k\qquad(\forall n\in\mathbb N)</math>
:<math>M=1+\sup_{n\in\mathbb N}|S_n|\in\mathbb R^+</math>
라고 하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>|b_n|<\frac\epsilon{6M}\qquad(\forall n>N(\epsilon))</math>
인 자연수 <math>N(\epsilon)\in\mathbb N</math>이 존재한다. [[아벨 변환]]에 의하여, 임의의 <math>n\ge N(\epsilon)</math> 및 임의의 <math>p\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right|
&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)\right|\\
&\le|b_{n+p}|(|S_{n+p}|+|S_n|)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|(|S_k|+|S_n|)\\
&\le2M\left(|b_{n+p}|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|\right)\\
&=2M\left(|b_{n+p}|+\left|\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})\right|\right)\\
&=2M(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\
&\le2M(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\
&<2M\cdot3\cdot\frac\epsilon{6M}\\
&=\epsilon
\end{align}
</math>
즉, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nb_n</math>
의 [[부분합]]은 [[코시 수열]]이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.
{{증명 끝}}

=== 이상 적분 ===
두 [[실수 값 함수]] <math>f,g\colon[a,\infty)\to\mathbb R</math>가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>f</math>는 임의의 <math>[a,b]\subseteq[a,\infty)</math>에서 [[리만 적분]] 가능하며, 또한 <math>\sup_{x\in[a,\infty)}\left|\int_a^xf(t)\,dt\right|<\infty</math>
* <math>g</math>는 [[단조함수]]이다. (특히, <math>g</math>는 임의의 <math>[a,b]\subseteq[a,\infty)</math>에서 [[리만 적분]] 가능하다.)
* <math>\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>
그렇다면, [[이상 적분]]
:<math>\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx</math>
는 수렴한다.
{{증명}}
:<math>M=1+\sup_{x\in[a,\infty)}\left|\int_a^xf(t)\,dt\right|\in\mathbb R^+</math>
이라고 하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>|g(x)|<\frac\epsilon{4M}\qquad(\forall x>N(\epsilon))</math>
인 <math>N(\epsilon)>a</math>가 존재한다. [[제2 적분 평균값 정리]]에 따라, 임의의 <math>y>x>N(\epsilon)</math>에 대하여, 어떤 <math>c(x,y)\in[x,y]</math>가 존재하며, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\left|\int_x^yf(t)g(t)\,dt\right|
&=\left|g(x)\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\\
&\le\frac\epsilon{4M}\left(\left|\int_a^{c(x,y)}f(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right|+\left|\int_a^yf(t)\,dt-\int_a^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|\right)\\
&\le\frac\epsilon{4M}(2M+2M)\\
&=\epsilon
\end{align}
</math>
따라서, [[이상 적분]]
:<math>\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx</math>
은 수렴한다.
{{증명 끝}}

=== 균등 수렴 ===
집합 <math>X</math> 및 두 함수열 <math>(f_n,g_n\colon X\to\mathbb R)_{n=0}^\infty</math>이 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
* 함수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty f_n</math>의 부분합은 [[균등 유계 함수열]]이다. 즉, <math>\sup_{n\in\mathbb N}\sup_{x\in X}\left|\sum_{i=0}^nf_i(x)\right|<\infty</math>
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>(g_n(x))_{n=0}^\infty</math>은 [[단조수열]]이다.
* <math>(g_n)_{n=0}^\infty</math>은 <math>0\colon X\to\mathbb R</math>로 [[균등 수렴]]한다.
그렇다면, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty f_ng_n</math>
는 [[균등 수렴]]한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 디리클레 판정법의 증명과 유사하다. <math>X</math>가 [[한원소 집합]]인 경우, 이는 단순히 실수 항 급수에 대한 디리클레 판정법이다.

== 예 ==
=== 교대급수 ===
{{본문|교대급수}}
임의의 0으로 수렴하는 [[단조수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>에 대하여, [[교대급수]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n</math>
는 수렴한다 ([[교대급수 판정법]]). 이는 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^n</math>
의 부분합
:<math>\sum_{i=0}^n(-1)^i=\begin{cases}
1&n\in2\mathbb Z\\
0&n\in2\mathbb Z+1
\end{cases}
\qquad(n\in\mathbb N)
</math>
이 [[유계 수열]]이기 때문이다.

=== 삼각 급수 ===
{{참고|푸리에 급수}}
마찬가자로, 0으로 수렴하는 [[단조수열]] <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> 및 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여,
* 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\sin nx</math>는 수렴한다.
* 만약 <math>x\not\in2\pi\mathbb Z</math>라면, 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx</math>는 수렴한다.
이는
:<math>\sum_{i=1}^n\sin ix=\begin{cases}
0&x\in\pi\mathbb Z\\
(\cos(x/2)-\cos((n+1/2)x))/(2\sin(x/2))&x\not\in\pi\mathbb Z
\end{cases}
\qquad(n\in\mathbb Z^+)
</math>
가 [[유계 수열]]이며,
:<math>\sum_{i=1}^n\cos ix=\begin{cases}
n&x\in2\pi\mathbb Z\\
(\sin((n+1/2)x)-\sin(x/2))/(2\sin(x/2))&x\not\in2\pi\mathbb Z
\end{cases}
\qquad(n\in\mathbb Z^+)
</math>
가 <math>x\not\in2\pi\mathbb Z</math>일 때 [[유계 수열]]이기 때문이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\sum_{n=1}^\infty|a_n\sin nx|<\infty</math>
* <math>x\in\pi\mathbb Z</math>이거나, <math>\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty</math>
마찬가지로, 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* <math>\sum_{n=1}^\infty|a_n\cos nx|<\infty</math>
* <math>\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty</math>

== 역사 ==
작자 [[페터 구스타프 르죈 디리클레]]의 사후인 1862년 《[[순수 및 응용수학 저널]]》({{lang|fr|Journal de Mathématiques Pures et Appliquées}})에 게재되었다.<ref>''Démonstration d’un théorème d’Abel''. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), [http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1862_2_7_A43_0 pp. 253-255] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110721011902/http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1862_2_7_A43_0#}}.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[아벨 판정법]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Dirichlet criterion (convergence of series)}}
* {{매스월드|id=DirichletsTest|제목=Dirichlet's test}}
* {{플래닛매스|urlname=DirichletsConvergenceTest|제목=Dirichlet’s convergence test}}
* {{proofwiki|id=Dirichlet's Test for Uniform Convergence|제목=Dirichlet's test for uniform convergence}}

[[분류:수렴판정법]]