디리클레 분포 문서 원본 보기

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[[파일:Dirichlet distributions.png|섬네일|다양한 α 값에 대한 3차원 디리클레 분포의 모습. 왼쪽 위에서부터 시계방향으로 α=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4)이다.]]
'''디리클레 분포'''(Dirichlet distribution)는 [[연속 확률분포]]의 하나로, <math>k</math>차원의 실수 벡터 중 벡터의 요소가 양수이며 모든 요소를 더한 값이 1인 경우 (이를 <math>k-1</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]라고 한다)에 대해 확률값이 정의되는 분포이다.

디리클레 분포는 [[베이즈 통계학]]에서 [[다항 분포]]에 대한 [[사전 켤레확률]]이다. 이 성질을 이용하기 위해, 디리클레 분포는 베이즈 통계학에서의 [[사전 확률]]로 자주 사용된다.

== 분포 ==

2 이상의 자연수 <math>k</math>와 양의 상수 <math>\alpha_1, \cdots, \alpha_k</math>에 대하여, 디리클레 분포의 [[확률 밀도 함수]]는 다음과 같이 정의된다.
실수값 <math>x_1, \cdots, x_k</math>가 모두 양의 실수이며 <math>\sum_{i=1}^k x_i = 1</math>을 만족할 때
:<math>f(x_1, \cdots, x_k; \alpha_1, \cdots, \alpha_k) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^k x_i ^{\alpha_i - 1}</math>
의 값을 가지며, 그 외의 경우는 0의 값을 가진다.
이때 <math>\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_k)</math>이며, <math>\mathrm{B}(\alpha)</math>는 [[정규화 상수]]로서 다음의 값을 가진다.
:<math>\mathrm{B}(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^k \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\bigl(\sum_{i=1}^k \alpha_i\bigr)}</math> (<math>\Gamma</math>는 [[감마 함수]])

디리클레 분포에서 <math>k=2</math>인 경우 [[베타 분포]]가 된다.

== 성질 ==

=== 사전 켤레확률 ===

디리클레 분포 <math>\theta \sim \mathrm{Dir}(\alpha)</math>와 그에 대한 [[다항 분포]] <math> X | \theta \sim \mathrm{Multinomial}(\theta)</math>에 대하여,
<math>X</math>가 주어졌을 때 <math>\theta</math>의 [[사후 확률]] <math>\theta | X</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\theta | X \sim \mathrm{Dir}(\alpha + X)</math>
즉, 디리클레 분포는 다항 분포에 대한 [[사전 켤레확률]]인 성질을 가지며, 사후 확률 분포는 <math>\alpha</math> 벡터에 덧셈하는 것으로 계산이 가능하다.
== 같이 보기 ==
* [[잠재 디리클레 할당]]

{{전거 통제}}

[[분류:베이즈 통계학]]
[[분류:연속분포]]