디리클레 베타 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Mplwp dirichlet beta.svg|섬네일|right|325px|디리클레 베타 함수]]
[[수학]]에서 '''디리클레 베타 함수'''(Dirichlet beta function) 혹은 '''카탈랑 베타 함수'''(Catalan beta function)는 [[리만 제타 함수]]와 밀접한 관련이 있는 [[특수 함수]]이다. [[디리클레 L-함수]]의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
디리클레 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}</math>
혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:<math>\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx</math>

== 특별한 값 ==
:<math>\beta(0)= \frac{1}{2} </math>

:<math>\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4} </math>

:<math>\beta(2)\;=\;G</math>, 여기서 <math>G</math>는 [[카탈랑 상수]]를 의미한다.

:<math>\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}</math>

:<math>\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}</math>

:<math>\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math>

<math>0</math> 이상의 정수 <math>k</math>에 대하여 <math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math>이다. 여기서 <math>{E_{n}}</math>는 [[오일러 수]]를 의미한다.

오일러 수 <math>{E_{n}}</math>은 <math>n</math>이 홀수일 때 <math>0</math>이기 때문에, <math>k</math>가 홀수일 때 <math>\beta(-k)=0</math>임을 알 수 있다.

== 표 ==
{| class=wikitable style="font-size: 90%;" |
!width=10|s
!width=60|&beta;(s)
!width=40|[[OEIS]]
|-
|1/5||0.5737108471859466493572665||
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|1/2||0.6676914571896091766586909||[[oeis:A195103|A195103]]
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|1||0.7853981633974483096156608||[[oeis:A003881|A003881]]
|-
|2||0.9159655941772190150546035||[[oeis:A006752|A006752]]
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|3||0.9689461462593693804836348||[[oeis:A153071|A153071]]
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|4||0.9889445517411053361084226||[[oeis:A175572|A175572]]
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|5||0.9961578280770880640063194||[[oeis:A175571|A175571]]
|-
|6||0.9986852222184381354416008||[[oeis:A175570|A175570]]
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|10||0.9999831640261968774055407||
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|}

== 같이 보기 ==
* [[후르비츠 제타 함수]]
* [[디리클레 L-함수]]
* [[디리클레 에타 함수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Dirichlet Beta Function|id=DirichletBetaFunction}}

[[분류:제타 함수와 L-함수]]