디리클레 문제 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''디리클레 문제'''({{lang|en|Dirichlet problem}})란 [[디리클레 경계 조건]]을 가진 [[경계값 문제]]다. 즉, 주어진 영역의 경계에서의 값이 조건으로 주어지는 특정한 [[편미분 방정식]]에 대하여 그 영역의 내부에서의 해가 될 수 있는 함수를 찾는 문제이다.

디리클레 문제는 많은 종류의 편미분 방정식을 풀 수 있게 하는데, 역사적으로 [[라플라스 방정식]]을 풀이하기 위한 방법론으로 발전되었다.
이때의 요구되는 조건이 디리클레 경계 조건이다. 주로 해의 존재성과 유일성이 주요한 논점이 되는데, 이것은 [[최대 원리]]에 의해 증명할 수 있다.

== 역사 ==
디리클레 문제(Dirichlet problem)는 디리클레([[페터 구스타프 르죈 디리클레]])의 이름을 따서 만들었다. 물리적 관점에서는 유일해를 가진다는 것이 자명하다. 예컨대 평면 또는 곡면의 일부를 주석박(朱錫箔)으로 씌워 전지의 극을 그 위의 두 점에 접속해 주석박의 막에 정상전류를 흐르게 했을 때 물리적으로는 어떤 일정한 결과를 얻는다.
주석박 내에 흐르는 전류의 크기가 주어진 조건에서 가능한 다른 전류에 비해 최소가 되듯이 디리클레의 문제라는 최소문제 역시 해(解)를 갖는다는 것이다.

그러나 [[카를 바이어슈트라스]] 수학적으로는 디리클레의 문제에 극값이 존재한다는 것이 자명하지 않다는 결점을 찾았고 엄밀한 증명은 1900년에 [[다비트 힐베르트]]에 의해서야 이루어졌다. 디리클레의 문제를 수학상의 문제로 다룰 경우, 그것은「편미분방정식의 경계값 문제」를 푸는 것과 의미가 같아진다

== 일반해 ==
충분히 부드러운 경계 <math>\partial D</math>를 가지는 영역 <math>D</math>에 대해 디리클레의 문제의 일반해는 다음과 같다.
:<math>u(x)=\int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds</math>

<math>G(x,y)</math>는 편미분방정식에 관한 [[그린함수]]이고
:<math>\frac{\partial G(x,s)}{\partial n} = \widehat{n} \cdot \nabla_s G (x,s) = \sum_i n_i \frac{\partial G(x,s)}{\partial s_i}</math>
안쪽을 가리키는 단위법선 백터<math>\widehat{n}</math>를 따라 그린함수를 미분한 것이다. 함수 <math>\nu(s)</math>는 제 2종 프레드홀름 적분방정식의 유일해에 의해 주어진다,

:<math>f(x) = -\frac{\nu(x)}{2} + \int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds.</math>
위의 적분에 사용되는 그린함수는 경계에서 0이 되는 함수이다.
:<math>G(x,s)=0</math>

<math>s\in \partial D</math> , <math>x\in D</math>. 이러한 그린함수는 보통 자유구역란의 그린함수의 합과 미분방정식의 조화함수 해에 해당한다.

=== 존재 ===
조화함수에 관한 디리클레의 문제는 항상 해를 가지며 그 해는 다음과 같은 조건에서 유일한다. 경계가 충분히 부드럽고 f(s)가 연속일 때, 더 정확히는

<math>\alpha\in(0,1)</math>, <math>C^{1,\alpha}</math> 는  [[횔더 연속 함수]]를 나타낸다.

== 일반화 ==
디리클레 문제는 타원형 편미분방정식과 [[퍼텐셜 이론]]과 [[라플라스 방정식]]의 특수한 형태이다. 다른 예는 이중조화방정식과 [[탄성]]에 관련된 방정식을 포함한다.
모두 [[노이만 경계 조건]]과 코시 문제 등을 포함하는, 경계값에 관한 정보가 주어졌을 때의 편미분방정식 중 하나이다.

== 참고 문헌 ==
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* S. G. Krantz, ''The Dirichlet Problem.'' §7.3.3 in ''Handbook of Complex Variables''. Boston, MA: Birkhäuser, p.&nbsp;93, 1999. {{ISBN|0-8176-4011-8}}.
* S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, ''[http://www.ams.org/mcom/2004-73-246/S0025-5718-03-01574-6/home.html The Dirichlet problem on quadratic surfaces]'' Mathematics of Computation '''73''' (2004), 637-651.
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* Gérard, Patrick; [[Eric Leichtnam|Leichtnam, Éric]]: Ergodic properties of eigenfunctions for the Dirichlet problem. Duke Math. J. 71 (1993), no. 2, 559-607.
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* {{인용| last=Taylor|first= Michael E.|authorlink=Michael E. Taylor|title= Partial differential equations I. Basic theory|edition=2nd |series= Applied Mathematical Sciences|volume= 115|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-1-4419-7054-1}}
* {{인용|last=Zimmer|first= Robert J.|title= Essential results of functional analysis|series= Chicago Lectures in Mathematics|publisher= University of Chicago Press|year= 1990|isbn= 0-226-98337-4}}
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* {{인용|title=Introduction to the Theory of Linear Partial Differential Equations|volume=14|series= Studies in Mathematics and Its Applications|first=Jacques|last= Chazarain|first2= Alain|last2= Piriou|publisher=Elsevier|year= 1982|isbn=0444864520}}
* {{인용|last=Bell|first=Steven R.|title= The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping|series= Studies in Advanced Mathematics|publisher= CRC Press|year= 1992|isbn=0-8493-8270-X}}
* {{인용|title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups|series=Graduate Texts in Mathematics|volume= 94|year=1983|
first=Frank W.|last= Warner|isbn=0387908943|publisher=Springer}}
* {{서적 인용 |last1=Griffiths |first1=Philip |저자링크=필립 오거스터스 그리피스 |last2=Harris |first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | series=Wiley Classics Library | publisher= Wiley | 날짜=1994-08 | isbn=978-0-471-05059-9 | doi=10.1002/9781118032527|판=2|zbl=0836.14001|mr=1288523 |언어=en }}
* {{인용|last=Courant|first= R.|title=Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces| 
publisher=Interscience|year= 1950}}
* {{인용|last=Schiffer|first= M.|last2=Hawley|first2= N. S.|title=Connections and conformal mapping|journal= 
Acta Math.|volume= 107|year= 1962|pages= 175–274|doi=10.1007/bf02545790}}

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