디리클레 급수 문서 원본 보기

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'''디리클레 급수'''(Dirichlet series)는 [[복소수]] <math>s</math>, 복소 수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math>
로 정의되는 급수이다. 디리클레 급수는 [[해석적 수론]](analytic number theory)에서 중요한 위치를 차지하며, 많은 중요한 함수가 디리클레 급수의 형태로 정의되어 있다.

== 예 ==

[[리만 제타 함수]]는 디리클레 급수의 한 예로, 다음과 같이 정의된다.
:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}</math>
리만 제타 함수의 역수는 다음의 디리클레 급수로 표현할 수 있다.
:<math>\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}</math>
여기서 <math>\mu(n)</math>은 [[뫼비우스 함수]]이다. 또한, 제타함수의 로그는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}</math>
여기서 <math>\Lambda(n)</math>은 [[망골트 함수]](Mangoldt function)이다. 또한, 제타함수의 로그도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.
:<math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.</math>

== 미분 ==
다음과 같이 주어진 디리클레 급수가 있다고 하자.
:<math>F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math>
이 경우 디리클레 급수의 미분은 다음과 같이 표현된다.
:<math>F'(s) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}</math>
이 결과를 리만 제타 함수에 적용하면 다음과 같이 된다. 실수부가 1보다 클 때, 리만 제타 함수의 정의는 디리클레 급수로 표현된다. 따라서 그 미분을 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.
:<math>\zeta'(s) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}</math>
여기서 제타함수의 로그도함수를 계산하기 위해서 [[산술의 기본정리]]에 의해 즉시 도출되는 다음 등식을 활용한다.
:<math>\sum_{d|n}\Lambda(d) = \log n</math>
물론 여기서 <math>\Lambda(n)</math>은 망골트 함수이다. 결국 두 급수를 곱해주면 다음 등식이 성립한다.
:<math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.</math>
이 식은 [[소수 정리]]를 증명하는 과정에서 쓰인다.<ref name="Introduction to Analytic Number Theory">{{서적 인용
  | 성 = Apostol
  | 이름 = Tom
  | 제목 = Introduction to Analytic Number Theory
  | 출판사 = Springer
  | 연도 = 1998
  | 쪽 = 236
  | doi = 
  |ISBN=978-0-387-90163-3
}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[오일러의 곱셈 공식]]
* [[리만 제타 함수]]
* [[소수 정리]]
* [[디리클레 L-함수]]

== 각주 ==
<references/>

{{급수}}
{{전거 통제}}

[[분류:급수]]
[[분류:수론]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]