디랙 행렬 문서 원본 보기

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[[수리물리학]]에서 '''디랙 행렬'''(Dirac matrices) 혹은 '''감마 행렬'''(gamma matrices)은 [[민코프스키 공간]]의 [[계량 텐서]]에 해당하는 [[클리퍼드 대수]] ''Cl(1,3)''을 [[표현 (수학)|표현]]하는 네 개의 4×4 행렬 <math>\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3</math>이다. 이들은 [[로런츠 변환]]을 따르지 않아, [[4차원 벡터]]를 이루지 않지만, 이들은 [[스피너]]와 곱하여 로런츠 변환을 따르는 [[스칼라]], [[벡터 (물리)|벡터]], [[텐서]]를 만드는 데 쓰인다.

디랙 행렬은 여러 방법으로 정의할 수 있다. 이들은 다 같은 클리퍼드 대수를 나타낸다는 점에서 동등하나, 실제 계산에서는 특정 표현이 다른 표현보다 유용한 경우가 있다. 이런 정의하는 방법에는 디랙 표현(Dirac representation), 바일 표현(Weyl representation, 혹은 손지기 표현), 마요라나 표현(Majorana representation) 등이 있다.
디랙 표현은 다음과 같다.
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix},\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}.</math>
여기서 ''I''는 2×2 [[단위행렬]]이고, σ는 [[파울리 행렬]]이다. 바일 표현으로는
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}.</math>
마요라나 표현으로는
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}.</math>

이 네 행렬 말고도, 통상적으로 다섯 번째 디랙 행렬을 다음과 같이 정의한다.
:<math>\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3</math>
이들을 이용하여, 디랙 스피너 <math>\Psi</math>가 주어지면, <math>\bar\Psi\Psi</math>는 로런츠 불변의 스칼라, <math>\bar\Psi\gamma^5\Psi</math>는 [[거짓스칼라]] (pseudoscalar), <math>\bar\Psi\gamma^\mu\Psi</math>는 벡터를 이룬다.
== 같이 보기 ==
* [[파울리 행렬]]
* [[겔만 행렬]]
* [[피어츠 항등식]]
* [[시공간 대수]]

{{행렬의 종류}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:행렬]]
[[분류:클리퍼드 대수]]
[[분류:스피너]]