디랙 연산자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]과 [[이론물리학]]에서 '''디랙 연산자'''(Dirac演算子, {{llang|en|Dirac operator}})는 [[라플라스 연산자]]의 제곱근인 [[미분 연산자]]이다.<ref name="BGV"/><ref>{{서적 인용 | last=Friedrich|first=Thomas| 제목 = Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie| 날짜=1997Mathematics|권=25|출판사=Vieweg-Verlag|총서= Advanced Lectures in Mathematics |isbn=978-3-528-06926-1|issn=0932-7134|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Dirac operator and eigenvalues in Riemannian geometry|이름=Giampiero|성=Esposito|arxiv=gr-qc/9507046|bibcode=1995gr.qc.....7046E|날짜=1995|언어=en}}</ref><ref name="BGV"/>{{rp|Chapter 3}}

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math> 위의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)</math>
* <math>E\otimes E^*</math>의 [[매끄러운 단면]] <math>T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)</math>. (흔히 <math>T=0</math>으로 잡는다.)
그렇다면, [[라플라스 연산자]]
:<math>\Delta=g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
및 일반화 라플라스 연산자
:<math>\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
를 정의할 수 있다.

이 경우, '''디랙 연산자'''
:<math>D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
는
:<math>D^2=\Delta</math>
를 만족시키는 1차 [[미분 연산자]]이다.

보다 일반적으로, '''디랙형 연산자'''(Dirac形演算子, {{llang|en|Dirac-type operator}}) 또는 '''일반화 디랙 연산자'''({{llang|en|generalized Dirac operator}})
:<math>D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
는 그 제곱이 [[라플라스형 연산자]]가 되는 1차 [[미분 연산자]]이다. 즉,
:<math>D^2=\Delta+T</math>
를 만족시키는 1차 [[미분 연산자]]이다.

=== 등급 디랙 연산자 ===
[[클리퍼드 대수]]는 자연스럽게 <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급 대수]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\oplus\operatorname{Cliff}^-(V,Q;K)</math>
이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.<ref name="BGV">{{서적 인용|이름=N.|성=Berline|이름2=E.|성2=Getzler|이름3= M.|성3=Vergne|제목=Heat kernels and Dirac operators|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권= 298|출판사=Springer-Verlag|날짜=1992|언어=en}}</ref>{{rp|116, Definition 3.36}}

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow M</math>. 편의상 <math>E=E^+\oplus E^-</math>로 표기하자.
* <math>E</math> 위의 [[초접속]] <math>\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)</math>
* <math>E^\pm\otimes(E^\mp)^*</math>의 [[매끄러운 단면]] <math>T^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm\otimes{E^\mp}^*)</math> ([[복부호 동순]])
그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자
:<math>\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
를 정의할 수 있다.

그렇다면, '''등급 디랙 연산자'''({{llang|en|graded Dirac operator}})
:<math>D^\pm\colon\Gamma^\infty(E^\pm)\to\Gamma^\infty(E^\mp)</math> ([[복부호 동순]])
는
:<math>D^-D^+=\Delta+T</math>
:<math>D^+D^-=\Delta+T</math>
를 만족시키는 두 [[미분 연산자]]이다.

== 분류 ==
=== 클리퍼드 가군 다발 접속 ===
[[리만 다양체]] <Math>(M,g)</math> 위의 클리퍼드 가군 다발 <math>E</math> 위의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''클리퍼드 가군 다발 접속'''이라고 하자.
:<math>\nabla_X(a\cdot s)=a\cdot\nabla_Xs+(\nabla_Xa)\cdot s\qquad\forall a\in\Gamma^\infty(\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)),\;s\in\Gamma^\infty(E),\;X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math>
여기서 <math>\nabla_Xa</math>는 [[클리퍼드 다발]] 위에 [[리만 계량]]으로부터 자연스럽게 정의된 [[코쥘 접속]]([[레비치비타 접속]])이다.

마찬가지로, '''클리퍼드 가군 다발 초접속'''을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, <Math>\mathbb Z/2</math>-등급 [[매끄러운 벡터 다발]] 위의 [[코쥘 초접속]]으로 정의할 수 있다.

=== 디랙 연산자의 분류 ===
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math> 위에 디랙 연산자 <math>D</math>가 주어졌을 때, <math>E</math> 위에는 자연스럽게 [[클리퍼드 다발]] <math>\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)</math>의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 <Math>E_x</math>이 [[클리퍼드 대수]] <math>\operatorname{Cliff}(\mathrm T_xM,g_x)</math>의 [[왼쪽 가군]]을 이룬다.<ref name="BGV"/>{{rp|116, Proposition 3.38}} 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:<math>D(fs)-f(Ds)=(\mathrm df)\cdot s</math>
여기서
* <math>f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>는 <math>M</math> 위의 실수 값 [[매끄러운 함수]]이다.
* <math>\mathrm df\in\Omega^1(M)=\Gamma^\infty(\mathrm T^*\!M)</math>은 그 [[기울기 (벡터)|기울기]]인 [[1차 미분 형식]]이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 <math>\Omega^1(M)\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(\mathrm T^*\!M,g^{-1})\cong\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)</math>이 존재한다.
* <math>\cdot</math>은 [[클리퍼드 대수]]의 원소의 작용이다.
[[클리퍼드 다발]] <math>\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)</math>의 [[매끄러운 단면]]은 [[벡터장]] <math>X=(\mathrm df)^\sharp</math>으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 [[클리퍼드 다발]]의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, <math>E</math>는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,
* 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 다발 <math>E</math> + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 <math>\operatorname{End}(E)</math> 꼴의 [[아핀 공간]]이다.
* 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 <math>\mathbb Z/2</math>-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 다발 <math>\mathbb Z/2</math>-등급 다발 <math>E^\pm</math> + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 <math>\operatorname{End}^+(E)</math> 꼴의 [[아핀 공간]]이다.

== 예 ==
=== 곡선 위의 벡터다발 ===
계량이 주어진 곡선 <math>\gamma</math> 위의 다발 <math>E\twoheadrightarrow\gamma</math>의 경우, 디랙 연산자는 단순히
:<math>D=\nabla</math>
이다.

=== 접다발 ===
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>에는 자연스러운 [[레비치비타 접속]]이 존재한다. 만약 <math>M</math>이 [[스핀 다양체]]라면, 접다발을 [[스피너 다발]]
:<math>\mathrm TM\hookrightarrow\mathrm SM</math>
으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. <math>\mathrm SM</math>은 <math>2^{\lfloor\dim M/2\rfloor}</math>차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 [[클리퍼드 다발]] <math>\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)</math> 위의 [[클리퍼드 가군 다발]]이다. 이 경우 매장
:<math>\gamma\colon\mathrm TM\hookrightarrow\operatorname{Cl}(M,g)</math>
:<math>\gamma\colon v^i\mapsto v^i\gamma_i</math>
이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는
:<math>D=g^{ij}\gamma_i\nabla_j</math>
이다. 즉,
:<math>D^2=\{D,D\}/2=\frac12\{\gamma^i\gamma^j\}\nabla_i\nabla_j=g^{ij}\nabla_i\nabla_j=\Delta</math>
이다.

만약 <math>M</math>이 짝수 차원이라면, 그 [[스피너 다발]]은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 [[바일 스피너]] 다발로 분해된다.
:<math>\mathrm SM=\mathrm S^+M\oplus\mathrm S^-M</math>
이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.
:<math>D^\pm=(D\restriction\Gamma^\infty(\mathrm S^\pm M))\colon\Gamma^\infty(\mathrm S^\pm M)\to\Gamma^\infty(\mathrm S^\mp M))</math> ([[복부호 동순]])
따라서, 이는 <math>\mathrm S^\pm M</math> 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

=== 호지-드람 연산자 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[미분 형식]]의 다발
:<math>E = \bigwedge^\bullet \mathrm T^*M</math>
을 생각하자. 즉,
:<math>\Gamma(E) = \Omega(M)</math>
이다. 만약 <math>M</math>이 콤팩트 다양체라면, [[외미분]]
:<math>\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet+1}(M)</math>
의 [[에르미트 수반]]
:<math>\mathrm d^\dagger \colon \Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet-1}(M)</math>
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
:<math>(\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2 = \{\mathrm d,\mathrm d^\dagger\} = \Delta</math>
이 된다. 여기서 <math>\Delta</math>는 미분 형식의 [[호지-라플라스 연산자]]이다. 따라서
:<math>D = \mathrm d + \mathrm d^\dagger</math>
를 정의하면, <math>D</math>는 <math>E</math> 위의 디랙 연산자를 이룬다.

== 역사 ==
최초의 디랙 연산자는 [[폴 디랙]]이 [[양자전기역학]]을 연구하는 도중 발견하였다.

== 같이 보기 ==
* [[디랙 방정식]]
* [[열핵]]
* [[클리퍼드 대수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DiracOperator|title=Dirac operator}}
* {{nlab|title=Dirac operator}}
* {{nlab|id=index of a Dirac operator|title=Index of a Dirac operator}}
* {{nlab|id=Dolbeault-Dirac operator}}
* {{nlab|id=Spin^c Dirac operator}}
* {{웹 인용|url=https://www.ma.utexas.edu/users/dafr/DiracNotes.pdf|제목=Geometry of Dirac operators|이름=Daniel S.|성=Freed|날짜=1987|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://indextheory.wordpress.com/2012/11/21/the-dirac-operator/|제목=The Dirac operator|날짜=2012-11-21|웹사이트=M721: Index Theory|언어=en|확인날짜=2017-01-17|보존url=https://web.archive.org/web/20170118063955/https://indextheory.wordpress.com/2012/11/21/the-dirac-operator/|보존날짜=2017-01-18|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/193560/exact-definition-of-dirac-operator|제목=Exact definition of Dirac operator|출판사=Stack Overflow|언어=en|확인날짜=2017-01-10|보존url=https://web.archive.org/web/20170110161553/http://mathoverflow.net/questions/193560/exact-definition-of-dirac-operator|보존날짜=2017-01-10|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/235632/generalized-dirac-operators|제목=Generalized Dirac operators|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2017-01-17|보존url=https://web.archive.org/web/20170118051807/http://mathoverflow.net/questions/235632/generalized-dirac-operators|보존날짜=2017-01-18|url-status=dead}}

[[분류:미분 연산자]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:수리물리학]]