등차수열 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Arithmetic progression.svg|thumb]]
[[수학]]에서 '''등차수열'''(等差數列, {{문화어|같은차수렬}}, {{llang|en|arithmetic progression, '''AP''' 또는 arithmetic sequence}})은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 [[수열]]을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 '''공'''통으로 나타나는 '''차'''이므로, '''공차'''({{lang|en|common difference}})라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.

수열의 첫항을 <math>a_1</math>, 공차를 <math>d</math>라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>a_n = a_1 + (n-1)d </math>

== 등차수열 구하기 ==
=== 등차수열의 항과 공차 이용 ===
<math>x</math>번째 항을 <math>a_x</math>, 공차를 <math>d</math>라 하면
등차수열의 일반항은 다음과 같다.
:<math>a_n = a_x + (n-x)d </math>

물론 여기에 <math>x=1</math>을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다.
:<math>a_n = a_1 + (n-1)d </math>


이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면
:<math>a_n = a_5 + (n-5)d </math>
:<math>a_n = 9 + 2(n-5) </math>
:<math>a_n = 2n-1 </math>

== 공차 ==
등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 <math>d</math>로 표시한다.

예시를 들면 다음과 같다.
* 1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 <math>d</math>는 1이다.
* 1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차<math>d</math>는 0이다.(특히, 이런 수열을 [[상수수열]]이라고 한다) 
* 2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 <math>d</math>는 8이다.
* 342, 345, 348, 351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차<math>d</math>는 3이다.
* 0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 <math>d</math>는 -1이다.

<math>d</math>는 <math>a_(n+1)</math> - <math>a_n</math> (단, <math>n</math>은 <math>>=</math> 2)로 구할 수 있다. 또는 <math>a_x</math> - <math>a_y</math> <math>/</math> <math>x</math> - <math>y</math> 로 구할 수 있다.

== 등차중항 ==
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 이 순서로 등차수열을 이룰때, <math>b</math>를 <math>a</math>와 <math>c</math>의 등차중항 혹은 산술평균(arithmetic mean)이라고 한다.
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>에 대하여 <math>b</math>가 <math>a</math>와 <math>c</math>의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 <math>b-a = c-b</math> 이므로 다음이 성립한다.

:<math>b=\frac{a+c}{2}</math>
등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 이 순서로 등차수열을 이룰때, <math>b</math>는 <math>a</math>와 <math>c</math>의 이등분점이다. 네 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> <math>d</math>가 이 순서로 등차수열을 이룰때, <math>b</math>는 <math>a</math>와 <math>d</math>의 1:2 내분점이고 <math>c</math>는 <math>a</math>와 <math>d</math>의 2:1 내분점이다. 즉, <math>b</math>와 <math>c</math>는 삼등분점이 된다.

수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.<ref>자유자재수학{{모호}}{{쪽|날짜=2012-6-17}}</ref>

== 등차급수 ==
등차급수({{llang|en|arithmetic series}})는 다음과 같은 공식으로 나타난다. 초항부터 n번째 항까지의 합 <math>S_n</math>은
:<math>S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}</math>

이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

:<math>S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n</math> 은, 즉
:<math> = a_1 + (a_1 + d) + \dots + \{a_1 + (n-2)d\} + \{a_1 + (n-1)d\} </math>
:<math>S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1</math> 은, 즉
:<math> = \{a_1 + (n-1)d\} + \{a_1 + (n-2)d\} + \dots + (a_1 + d) + a_1 </math>
:<math>2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)</math>
:<math>2S_n = [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d] + \dots + [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d]</math>
:<math>2S_n = n[2a_1 + (n-1)d]</math>
:<math>S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}</math>

결론적으로 등차급수는 '''<math>\{a_n\}</math>의 평균값 x <math>\{a_n\}</math>의 항의 개수'''로 정리할 수 있다.(단, <math>\{a_n\}</math>은 유한수열)

등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.

=== 또 다른 방법 ===
사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다.

:<math>S = -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5</math>

<math>S = 0</math>임을 쉽게 알 수 있다.

등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다. 즉, 양 끝의 합이 0이 되도록 양 끝의 합의 평균을 구해 항의 개수만큼 빼주는 것이다.

그 평균값을 m이라 하면

:<math>S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n </math>

양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.

:<math>S_n - m * n = 0</math>
:<math>S_n = m * n</math>
:<math>S_n = \{\frac{(a_1 + a_n)}{2}\} \cdot n</math>
:<math>S_n = \frac{n(a_1 +a_n)}{2}</math>

=== 등차급수의 무한합 ===
첫항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열 <math>a_n</math>에 대하여, 이 수열의 무한합 <math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>은 항상 [[발산]]한다.

== 각주 ==
<references />

== 같이 보기 ==
* [[등비수열]]
* [[소수로 이루어진 등차수열]]
* [[wikiversity:Algebra in plain view|수열 슬라이드 자료]] (위키버시티)

{{급수}}

{{전거 통제}}

[[분류:수열]]