등비수열 문서 원본 보기

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{{다른 뜻 |공비|공비}}
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'''등비수열'''(等比數列, {{문화어|같은비수렬}}, {{llang|en|geometric sequence}}) 또는 '''기하수열'''(幾何數列)은 각 항이 이전 항과 일정한 비를 가지는 [[수열]]을 말하며, 각 항과 이전 항의 일정한 비율을 '''공비'''(共比, common ratio)라고 한다.

초항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다{{lang||.}}
:<math>a, ar, ar^2, ar^3, \cdots</math>

== 등비수열의 예 ==
첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.
:1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ... 즉 1, 1*2, 1*2<sup>2</sup>, 1*2<sup>3</sup>...이다.
첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.
:729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...
첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.
:3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ...

== 기본적 성질 ==
첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.
:<math>a_n = a r^{n-1} \;</math>

등비수열은 다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.
:<math>a_n r = a_{n+1}</math>

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가
* [[양수]]이면, 모든 [[단항식|항]]은 첫항과 같은 [[부호 (수학)|부호]]를 가진다.
* [[음수]]이면, 계속 [[부호 (수학)|부호]]가 번갈아 가며 나타난다.
* 1보다 크면, 양의 [[무한대]]를 향해 지수적으로 증가한다.
* 1이면, 모든 [[단항식|항]]의 값이 같아진다.
* &minus;1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
* &minus;1이면, 모든 [[단항식|항]]의 [[절댓값]]은 같지만, [[부호 (수학)|부호]]가 계속 번갈아 가며 나타난다.
* 0이면, 첫항을 제외한 모든 항이 0이 된다.

등비수열은(공비가 &minus;1, 1, 0이 아닌경우) [[등차수열]]과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. [[등차수열]]에 [[거듭제곱]]을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 [[로그]]를 취하면 [[등차수열]]이 된다.

== 등비중항 ==
0이 아닌 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, <math>b</math>를 <math>a</math>와 <math>c</math>의 '''등비중항''' 혹은 기하평균(geometric mean)이라 한다.

따라서 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>에 대하여, <math>b</math>가 <math>a</math>와 <math>c</math>의 등비중항이라면

:<math>\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r</math> 즉, <math>b^2 =ac</math>가 성립한다.

또 <math>b^2 =ac</math>에서 <math>b=\pm\sqrt{ac}</math>이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

<math>b=\pm\sqrt{ac}</math>은 실제 기하평균의 꼴이다.

== 합 구하기 ==
초항부터 <math>n</math>항까지의 합은 이 공식으로 나타낼 수 있다.

<math>\frac{a(1-r^n)}{1-r}</math> 인데, 편의상 <math>\frac{a(r^n-1)}{r-1}</math>를 사용해도 된다.

단, <math>r=1</math>인 경우, <math>na</math>로 표현한다. <math>r \neq 1</math>인 경우는 다음과 같다.

===증명===

<math>S_n=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n-1}</math>

양변에 <math>r</math>을 곱하면

<math>rS_n=ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n-1}+ar^n</math>

위 두 식을 빼면

<math>(1-r)S_n=a-ar^n</math>

<math>r \neq 1</math>이므로

<math>S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}</math>

== 등비급수 ==
<math>a_1</math>부터 <math>a_n</math>까지 더한 합인 '''등비급수'''({{문화어|같은비합렬}}, {{llang|en|geometric series}}) 또는 '''기하급수''' <math>S_n</math>은 다음과 같이 구할 수 있다.

:<math>S_n = a+ar^1+ar^2+ar^3+ \cdots +ar^{n-1}</math>
:<math>= a(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})</math>
여기에서 <math>r</math>의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.
:<math>S_n = a\frac{(1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^{n-1})(r-1)}{r-1}</math>
:<math>= a\frac{r^n-1}{r-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}</math>

=== 무한등비급수 ===
'''무한등비급수'''(infinite geometric series)는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이며, 그 합은 다음과 같다.
:<math>\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n-1} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r}  (</math> 단, <math>|r| < 1</math> )

== 같이 보기 ==
* [[등차수열]]
* [[초기하함수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=GeometricSequence|title=Geometric sequence}}
* {{매스월드|id=GeometricSeries|title=Geometric series}}

{{전거 통제}}

[[분류:수열]]