등변 미분 형식 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''등변 미분 형식'''(等變微分形式, {{llang|en|equivariant differential form}})은 [[리 군]]의 작용과 호환되는, 하나의 [[리 대수]] 변수에 대한 [[미분 형식]] 계수의 [[다항식]]이다.<ref name="BGV">{{서적 인용 | last1=Berline | first1=Nicole | last2=Getzler | first2=Ezra | last3=Vergne | first3=Michèle | title=Heat kernels and Dirac operators | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1992 | 총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | 권=298 | isbn= 978-3-540-20062-8 | zbl=0744.58001 | url = http://www.springer.com/us/book/9783540200628 | 언어=en}}</ref> 이를 사용하여, [[드람 코호몰로지]]와 유사하게 [[등변 코호몰로지]]를 계산할 수 있다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>. 그 [[리 대수]]가 <math>\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g</math>라고 하자.
* <math>G</math>의 <math>M</math> 위의 매끄러운 [[군 작용|왼쪽 작용]] <math>(\cdot)\colon G\times M\to M</math>.
그렇다면, <math>M</math> 위의 '''<math>G</math>-등변 미분 형식''' <math>\alpha</math>는 다음 [[벡터 공간]]의 원소이다.
:<math>\alpha\in\operatorname{Sym}[\mathfrak g^*]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)=\mathbb C[\mathfrak g]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)</math>
여기서 <math>\mathfrak g^*</math>는 <math>\mathfrak g</math>의 [[쌍대 공간]]이며, <math>\Omega(M;\mathbb C)=\Omega(M)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C</math>은 <math>M</math> 위의 복소수 계수 [[미분 형식]]들의 [[복소수 벡터 공간]]이다. 이러한 원소는 다항식 사상
:<math>\alpha\colon\mathfrak g\to\Omega(M;\mathbb C)</math>
으로 간주할 수 있는데, 이 경우 <math>\alpha</math>는 다음 조건을 만족해야 한다.<ref name="BGV"/>{{rp|208, §7.1}}
:<math>\alpha\left(\operatorname{Ad}(g)x\right)=g\cdot\alpha(x)\qquad\forall g\in G,\;x\in\mathfrak g</math>
여기서 <math>\operatorname{Ad}(g)\colon G\to\operatorname{GL}(\mathfrak g)</math>는 <math>G</math>의 [[딸림표현]]이다.

== 연산 ==
등변 미분 형식 <math>\alpha\in\left(\operatorname{Sym}[\mathfrak g^*]\otimes_{\mathbb C}\Omega(M;\mathbb C)\right)^G</math> 위에는 다음과 같은 '''등변 [[외미분]]'''(等變外微分, {{llang|en|equivariant exterior derivative}})을 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm d_{\mathfrak g}\alpha\colon x\mapsto \mathrm d(\alpha(x))-x^\sharp\lrcorner(\alpha(x))</math>
여기서
* <math>\mathrm d</math>는 (일반) [[외미분]]이다.
* <math>\lrcorner</math>는 [[벡터장]]과 [[미분 형식]]의 [[내부곱]]이다.
* <math>x^\sharp\in\Gamma(M)</math>는 <math>G</math>의 [[군의 작용|왼쪽 작용]]을 생성하는 [[벡터장]]이다.
이는 (일반 [[외미분]]과 마찬가지로)
:<math>\mathrm d_{\mathfrak g}\circ \mathrm d_{\mathfrak g}=0</math>
을 만족시키며, 이에 따라 [[코호몰로지]]를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 [[등변 코호몰로지]]와 일치한다.
:<math>\operatorname H^\bullet_G(X;\mathbb C)=\frac{\ker\mathrm d_{\mathfrak g}}{\operatorname{im}\mathrm d_{\mathfrak g}}</math>
또한, 이를 통해 '''등변 완전 미분 형식'''(等變完全微分形式, {{llang|en|equivariantly exact differential form}}) 및 '''등변 닫힌 미분 형식'''(等變-微分形式, {{llang|en|equivariantly closed differential form}})을 정의할 수 있다.<ref name="BGV"/>{{rp|209, §7.1}}

== 역사 ==
등변 미분 형식의 개념은 [[앙리 카르탕]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Henri|성=Cartan|저자링크=앙리 카르탕|제목=Cohomologie réelle d’un espace fibré principal différentiable. I : notions d’algèbre différentielle, algèbre de Weil d’un groupe de Lie|url= http://www.numdam.org/item?id=SHC_1949-1950__2__A18_0|저널=Séminaire Henri Cartan|권=2|쪽=19|날짜=1950-05-15|언어=fr}}</ref>{{rp|§6, 6–9}}<ref name="BGV"/>{{rp|209, §7.1}}<ref>{{저널 인용|제목=Equivariant characteristic forms in the Cartan model and Borel equivariant cohomology|arxiv=1508.07847|이름=Andreas|성=Kübel|이름2=Andreas|성2=Thom|bibcode=2015arXiv150807847K|날짜=2015|언어=en}}</ref>{{rp|§2.4}}

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:미분 형식]]