등각 장론 문서 원본 보기

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{{양자장론}}
[[양자장론]]에서 '''등각 장론'''(等角場論, {{llang|en|conformal field theory}}, 약자 CFT)은 [[등각 변환]]에 대하여 대칭적인 [[양자장론|장론]]이다.<ref name="Ginsparg">{{저널 인용|성=Ginsparg|이름=Paul|연도=1988|월=11|제목=Applied conformal field theory|arxiv=hep-th/9108028|bibcode=1991hep.th....8028G|언어=en}}</ref><ref name="FMS">{{서적 인용|제목=Conformal Field Theory|이름=Philippe|성=Di Francesco|공저자=Pierre Mathieu, David Sénéchal|출판사=Springer|위치=New York|연도=1997|isbn=0-387-94785-X|url=http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/senechal/cft|언어=en|access-date=2012-10-23|archive-date=2015-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402132241/http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/senechal/cft|url-status=}}</ref><ref name="BP">{{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|공저자=Erik Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|연도=2009|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]|bibcode=2009LNP...779.....B|언어=en|mr=2848105 }}</ref><ref name="Schottenloher">{{서적 인용|제목=A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg|url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/|이름=Martin|성=Schottenloher|isbn= 978-3-540-68625-5|연도=2008|doi=10.1007/978-3-540-68628-6|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]]|mr=2492295|zbl=1161.17014|판=2판|기타=Lecture Notes in Physics 759, Lecture Notes in Physics Monographs 43|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Conformal Field Theory|url=https://archive.org/details/conformalfieldth0000keto|이름=Sergei V.|성=Ketov|연도=1995|월=2|isbn= 978-981-02-1608-5 | 출판사=World Scientific|doi=10.1142/9789812831972|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Gaberdiel|이름=Matthias R.|연도=2000|제목=An introduction to conformal field theory|저널=Reports on Progress in Physics|권=63|호=4|쪽=607|doi=10.1088/0034-4885/63/4/203|arxiv=hep-th/9910156|bibcode=2000RPPh...63..607G|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1002/prop.2190440802|제목=Introduction to conformal field theory|이름=A. N.|성=Schellekens|날짜=1996|mr=1428306|언어=en|저널=Fortschritte der Physik|권=44|호=8|쪽=605–705|issn=0015-8208}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=등각장론|isbn= 89-374-3586-1|저자=임채호|날짜=1995-02-01|출판사=민음사|위치=서울|url=http://minumsa.minumsa.com/book/983/|언어=ko}}</ref> 임의의 [[시공간]] 차원에서 정의할 수 있으나, [[2차원 등각 장론]]의 경우는 특별한 성질을 지닌다. [[응집물질물리학]]과 [[끈 이론]]에서 쓰인다.

== 전개 ==
=== 등각 대칭 ===
{{본문|등각 대칭}}
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 '''등각 대칭군''' <math>\operatorname{Conf}(M,g)</math>은 다음과 같은 [[리 군]]이다.
:<math>\operatorname{Conf}(M,g)=\{(f,\phi)\in\operatorname{Diff}(M)\times\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^+)\colon f^*g=\phi g\}</math>
즉, 등각 변환은 [[등거리변환]]이 되는, [[미분동형사상]]과 [[바일 변환]]의 합성이다.

등각 대칭군의 [[리 대수]]는 다음과 같다. 우선 [[계량 부호수]]가 <math>(p,q)</math>인 <math>d=p+q</math>차원 [[유클리드 공간]] (<math>\mathbb R^{p,q}</math>)을 생각하자. 만약 <math>d>2</math>인 경우, 등각 대칭군은 <math>SO(p+1,q+1)</math>을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.
* <math>d</math>개의 시공 평행 이동
* <math>d(d-1)/2</math>개의 [[로런츠 변환]]
* <math>1</math>개의 확대 변환({{llang|en|dilatation}})
* <math>d</math>개의 특수 등각 변환({{llang|en|special conformal transformation}})
특수 등각 변환은 [[반전]]({{llang|en|inversion}})과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란
:<math>I\colon x^\mu\mapsto x^\mu/x^2</math>
를 말한다. 즉 평행 이동
:<math>T_a\colon x^\mu\mapsto x^\mu+a^\mu</math>
와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은
:<math>S_a=I\circ T_a\circ I</math>
의 꼴이다.

2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) [[리만 곡면]] (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 [[정칙함수|정칙변환]]으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수({{llang|en|Witt algebra}}), 양자화하면 [[비라소로 대수]]로 나타난다.

==== 축척 대칭과 등각 대칭 ====
[[푸앵카레 대칭]]과 확대 대칭을 따르는 대부분의 이론들은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, "축척 불변"(scale invariance)과 "등각 불변"(conformal invariance)을 구분하지 않는 경우가 많다. 그러나 이에 대한 예외도 존재한다.<ref name="Nakayama">{{저널 인용|arxiv=1302.0884|제목=A lecture note on scale invariance vs conformal invariance|이름=Yu|성=Nakayama|bibcode=2013arXiv1302.0884N|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1107.3840|제목=
Scale without conformal invariance: theoretical foundations|doi=10.1007/JHEP07(2012)025|bibcode=2012JHEP...07..025F|언어=en|날짜=2012-07|권=2012|호=7|쪽=25|issn=1029-8479|저널=Journal of High Energy Physics|이름=Jean-François|성=Fortin|공저자=Benjamín Grinstein, Andreas Stergiou}}</ref>

=== 등각장 ===
등각 장론에서의 장 가운데 일부를 '''준일차장'''(準一次場, {{llang|en|quasiprimary field}})라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각 장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 [[선형결합]]으로 나타낼 수 있다. 준일차장들은 축척 변환 <math>D</math>에 대한 고윳값인 '''등각 차원''' <math>\Delta</math>와, [[로런츠 대칭]] <math>\operatorname{SO}(p,q)</math>의 표현 <math>l</math>에 의해 명시된다.

2차원의 경우, '''일차장'''(一次場, {{llang|en|primary field}})은 준일차장 가운데 [[뫼비우스 변환]] SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 '''이차장'''(二次場, {{llang|en|secondary field}})라 부른다.

[[푸앵카레 대칭]]에 대한 [[위그너 분류]]와 마찬가지로, 등각 대칭의 유니터리 표현들을 분류할 수 있다. <math>(p,q)=(d-1,1)</math>일 때, 유니터리 등각 준일차장의 가능한 등각 차원은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 로런츠 표현 !! 등각 차원의 하한 !! 하한을 포화하는 예
|-
| 스칼라 || <math>\Delta\ge(d-2)/2</math> || 자유 스칼라장
|-
| 스피너 || <math>\Delta\ge(d-1)/2</math> || 자유 페르미온
|-
| 벡터 || <math>\Delta\ge d-1</math> || 뇌터 보존류
|-
| <math>p</math>차 [[미분 형식]] (<math>0<p\le\lfloor d/2\rfloor</math>) || <math>\Delta\ge d-p</math> || [[전자기장 텐서]] (<math>d=4,p=2</math>)
|-
| 완전 대칭 완전 무대각합 <math>\ell</math>-텐서 (<math>\ell\ge1</math>) || <math>\Delta\ge d-2+\ell</math> || [[에너지-운동량 텐서]] (<math>\ell=2</math>)
|}
이들 하한들을 '''유니터리 하한'''({{llang|en|unitarity bound}})이라고 하며, 이들은 대체로 자유장에 의하여 포화된다.<ref name="Minwalla">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9712074|제목=
Restrictions Imposed by Superconformal Invariance on Quantum Field Theories|bibcode=1997hep.th...12074M|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|권=2|호=4|쪽=781–846|날짜=1998|zbl=1041.81534|이름=Shiraz|성=Minwalla|언어=en}}</ref>

이들 하한은 게이지 불변 연산자에만 적용된다. 예를 들어, 자유 [[전자기 퍼텐셜]] <math>A_\mu</math>는 벡터임에도 불구하고 차원이 1이다. 하지만 이는 게이지 불변이 아니며, 게이지 불변 연산자인 [[전자기 텐서]] <math>F_{\mu\nu}</math>는 유니터리 하한을 만족시킨다.

<math>d=2</math>인 경우, 유니터리 하한은 단순히 <math>h,\bar h\ge0</math>이다. <math>d=3</math>인 경우, 스핀이 <math>j\in\{0,1/2,1,\dots\}</math>인 표현의 유니터리 하한은
:<math>\Delta\ge\min\{2j,j+1\}</math>
이다.<ref name="Minwalla"/>{{rp|(2.42), (2.43), (2.44)}}
<math>d=4</math>인 경우, 스핀이 <math>(j,\tilde\jmath)</math>인 표현의 유니터리 하한은
:<math>\Delta\ge j+\tilde\jmath+1+\min\{1/2,j\}+\min\{1/2,\tilde\jmath\}</math>
이다.<ref name="Minwalla"/>{{rp|(2.45), (2.46)}}

== 성질 ==
=== 방사 양자화와 상태-연산자 대응성 ===
등각 다양체로서, <math>\mathbb R^d\setminus\{0\}</math>과 <math>S^{n-1}\times\mathbb R</math>은 서로 동치이다. 따라서, [[초구]] <math>S^{n-1}</math> 위에 정의된 등각 장론은 마치 원점을 제거한 유클리드 공간 위에 정의된 것으로 간주할 수 있다. 즉, 유클리드 공간에서의 직교좌표 <math>x^i\in\mathbb R^d</math>가 주어지면, 원점으로부터의 거리 <math>r=|x|</math>를 시간으로 삼아 양자화할 수 있다. 이러한 양자화를 '''방사 양자화'''(放射量子化, {{llang|en|radial quantization}})라고 하며, 이는 일반적인 차원에서의 등각 장론에서 가능하다.<ref name="Tong">{{저널 인용|arxiv=0908.0333|이름=David|성=Tong|제목=Lectures on string theory|bibcode=2009arXiv0908.0333T|언어=en|날짜=2009|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html}}</ref>{{rp|100}} 이에 따라, 일반적인 양자장론에서의 시간 순서({{llang|en|time ordering}})와 마찬가지로, '''방사 순서'''({{llang|en|radial ordering}}) 연산자
:<math>R(A(x)B(y))=\begin{cases}
A(x)B(y)&|x|>|y|\\
B(y)A(x)&|x|<|y|\\
\end{cases}</math>
를 정의한다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|19}} 모든 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]에서는 암묵적으로 방사 순서 연산자가 포함돼 있다. 즉, 아래에서 좌변과 같이 쓰더라도 암묵적으로 우변을 의미한다.
:<math>\langle1|O_1(z_1)O_2(z_2)\cdots O_n(z_n)|1\rangle=\langle1|R\left(O_1(z_1)O_2(z_2)\cdots O_n(z_n)\right)|1\rangle</math>

또한, 원점에 국소 연산자를 삽입하는 것은 무한한 과거에서의 경계 조건을 결정하는 것과 같으며, 이는 경로 적분을 통해 현재 상태를 결정한다. 이와 반대로, 주어진 상태에 대하여, 이 상태를 만드는 국소 연산자를 정의할 수 있다. 즉, 등각 장론에서는 가능한 상태들과 가능한 국소 연산자들 사이의 [[일대일 대응]]이 존재한다. 이를 이를 '''상태-연산자 대응성'''({{llang|en|state–operator correspondence}})이라고 한다. 이 정의에 따라서, 진공 상태 <math>|1\rangle</math>에 대응하는 연산자는 [[항등함수|항등 연산자]] <math>1</math>이다.

특히, 2차원의 경우 좌표는 보통 복소수 <math>z\in\mathbb C</math>로 나타내게 된다. 이 경우, <math>C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}</math>과 <math>\mathbb C/2\pi i\cong S^1\times\mathbb R</math> 사이의 등각 동형사상은 [[지수함수]]
:<math>z=\exp w=\exp(t+i\theta)</math>
로 간편하게 나타내어진다. 이 경우, 원점 <math>z=0</math> (<math>t=-\infty</math>)는 무한 과거에 대응하며, 반면 <math>z=\widehat\infty</math> (<math>t=+\infty</math>)는 무한 미래에 해당한다.

이에 따라서, 등각 장론의 상태는 원점 근처에서의 데이터로 나타낼 수 있다. 즉, 국소 연산자 <math>O(z,\bar z)</math>가 주어지면, 이 연산자를 원점(무한 미래)에 삽입하여, 연산자 <math>O</math>에 대응하는 초기 상태([[브라-켓 표기법|브라]]) <math>|O\rangle</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>|O\rangle=\lim_{z,\bar z\to0}O(z,\bar z)|1\rangle</math>
연산자 <math>O</math>가 좌표 변환 <math>f(z)=1/z</math>에 대하여
:<math>(f^*O)(z,\bar z)=p(\partial f,\bar\partial f)O(f(z),f(z))</math>
의 꼴로 변환한다고 하면, 연산자 <math>O</math>에 대응하는 최종 상태([[브라-켓 표기법|켓]]) <math>\langle O|</math>는
:<math>\langle O|=\lim_{w,\bar w\to0}\langle1|O(w,w)=\lim_{z,\bar z\to\infty}\langle1|\frac1{f(z)}O(z,\bar z)</math>
가 된다. 무게가 <math>(h,\bar h)</math>인 1차장의 경우
:<math>(f^*O)(z,\bar z)=(\partial f)^h(\bar\partial\bar f)^{\bar h}O(f(z),\bar f(\bar z))</math>
의 꼴로 변환하므로,
:<math>\langle O|=\lim_{z,\bar z\to\widehat\infty}\langle1|z^{2h}\bar z^{2\bar h}O(z,\bar z)</math>
이다. 1차장이 아닌 장들(예를 들어, 에너지-운동량 텐서 <math>T(z,\bar z)</math>)의 경우 변환 법칙은 더 복잡하다.

=== 상관 함수의 성질 ===
임의의 차원의 등각 장론에서, 2점 및 3점 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]들은 모두 등각 대칭에 의하여 정해진다. 즉, 등각 대칭을 사용하여 임의의 세 점 <math>x_1,x_2,x_3\in\mathbb R^d</math>을 각각 <math>0,e_1,\infty</math>로 보낼 수 있다 (<math>e_1=(1,0,0,\dots,0)</math>). 다시 말해, 세 개의 점으로는 아무런 등각 불변량을 정의할 수 없다. 반면, 네 개의 점 <math>x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb R^d</math>이 주어지면 [[비조화비]]라는 등각 불변량을 정의할 수 있다. 따라서, 등각 대칭은 3점 함수를 완전히 결정시키지만, 4점 함수는 완전히 결정시키지 못한다.

=== 에너지-운동량 텐서 ===
[[뇌터 정리]] 및 [[워드-다카하시 항등식]]에 따라, 등각 장론의 [[에너지-운동량 텐서]]의 [[대각합]]은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 [[비라소로 대수]]를 얻는다.

=== ''c''-정리와 ''a''-정리 ===
{{본문|c-정리}}
임의의 2차원 양자 장론에 대하여, ''c''라는 값이 존재한다. 이는
* <math>c</math>는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
* <math>c</math>의 재규격화군 [[부동점]] <math>g_i=g_i^*</math>에서는 <math>c(g_i^*,\mu)</math>는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 <math>c</math>의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.
이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 '''<math>c</math>-정리'''({{lang|en|<math>c</math>-theorem}})으로 일컫는다.

최근 고차원에서도 유사한 정리들이 발견되었다. 예를 들어, 4차원의 경우 2011년에 ''c''와 유사한 ''a''라는 값이 정의되었다.

== 2차원 등각 장론 ==
{{본문|2차원 등각 장론}}
2차원 등각 장론은 다른 차원의 등각 장론과 현저히 다른 현상을 보인다. 특히, 2차원에서는 등각 대칭이 무한 차원 대수인 [[비라소로 대수]]로 확장된다.

== 4차원 등각 장론 ==
=== 4차원 등각 대수 ===
4차원 등각 대수는 <math>M_{\mu\nu}</math> (회전), <math>P_\mu</math> (병진), <math>D</math> (확대), <math>K_\mu</math> (특수 등각 변환)로 구성된다. 이 가운데 처음 둘은 [[푸앵카레 대칭]]을 이룬다. 이들은 다음과 같은 대수를 따른다.<ref name="FMS"/>{{rp|98}}
:<math>[D,K_\mu]=-iK_\mu</math>
:<math>[D,P_\mu]=iP_\mu</math>
:<math>[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}</math>
:<math>[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu)</math>
:<math>[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)</math>
:<math>[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})</math>
스칼라장의 경우, 이들은 다음과 같이 표현된다.<ref name="FMS"/>{{rp|98}}
:<math>M_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)</math>
:<math>P_\mu=-i\partial_\mu</math>
:<math>D=-ix_\mu\partial^\mu</math>
:<math>K_\mu=i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)</math>
{| class="wikitable"
|-
! 생성원 !! 설명 !! 보존량 !! 개수 !! 질량 차원
|-
| ''M<sub>&mu;&nu;</sub>'' || 회전과 [[로런츠 변환]] || [[각운동량]] <math>x_\nu T_{\mu\rho}-x_\mu T_{\nu\rho}</math> || <math>d(d-1)/2</math> || 0
|-
| ''P<sub>&mu;</sub>'' || 병진 변환 || [[에너지-운동량 텐서]] <math>T_{\mu\nu}</math> || <math>d</math> || 1
|-
| ''D'' || 확대 변환 || <math>x^\mu T_{\mu\nu}</math><ref name="Nakayama"/>{{rp|§1.1}} || 1 || 0
|-
| ''K<sub>&mu;</sub>'' || 특수 등각 변환 || <math>(2x_\mu x^\lambda-x^2\delta^\lambda_\mu)T_{\lambda\nu}</math><ref name="Nakayama"/>{{rp|§1.1}} || <math>d</math> || &minus;1
|}

=== 초등각 게이지 이론 ===
4차원 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]에서는 [[재규격화군]] 베타 함수가 하나의 고리를 가진 [[파인먼 도형]]을 통해서만 보정된다. (물론 비섭동적으로 [[순간자]]에 의한 보정도 있다.) 따라서, 이 1개 고리 베타 함수의 계수가 0이고, [[초퍼텐셜]]이 0이면 이론이 초등각 대칭을 가지게 된다. 베타 함수가 0일 조건은 각 게이지 군에 필요한 수만큼의 페르미온들이 존재해야 하는 것이다. 이는 다음 표와 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 게이지 군 !! (기본 표현 하이퍼 초다중항) [[맛깔]]의 수
|-
| [[특수 유니터리 군|SU(''N'')]] || <math>2N</math><ref name="Gaiotto">{{저널 인용|arxiv=0904.2715|제목=''N''=2 dualities|이름=Davide|성=Gaiotto|bibcode=2012JHEP...08..034G|doi=10.1007/JHEP08(2012)034|저널=Journal of High Energy Physics|issn=1029-8479|권=2012|호=8|쪽=34|날짜=2012-08|언어=en}}</ref>{{rp|§1}}
|-
| [[심플렉틱 군|USp(2''N'')]] || <math>2N+2</math><ref name="Gaiotto"/>{{rp|§4.4}}<ref name="Tachikawa"/>{{rp|§3.1}}
|-
| [[특수직교군|SO(''N'')]] || <math>N-2</math><ref name="Tachikawa">{{저널 인용|제목=Six-dimensional D_N theory and four-dimensional SO-USp quivers|이름=Yuji|성=Tachikawa}}</ref>{{rp|§3.1}}
|}
초등각 [[화살집 도형|화살집]] 게이지 이론의 경우, 위 표는 [[D4-막]]과 [[NS5-막]]을 사용한 하나니-위튼 막 만화({{llang|en|Hanany–Witten brane cartoon}})으로 설명할 수 있다. 예를 들어, SU(''N'') 화살집의 경우, 물질 맛깔의 수는 NS5-막에 붙은 D4-막들의 수에 의해 주어지고, 이 경우 베타 함수는 NS5-막들의 휨에 의해 주어진다. 등각 대칭이 유지될 조건은 NS5-막의 양쪽에 같은 수의 D4-막이 붙어 있어, 양쪽으로의 [[장력]]이 서로 같아야 하는 조건이다.<ref name="Witten97">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9703166|제목=Solutions of four-dimensional field theories via M-theory|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|저널=Nuclear Physics B|권=500|호=1–3|날짜=1997-09-01|쪽=3–42|doi=10.1016/S0550-3213(97)00416-1|bibcode=1997NuPhB.500....3W|언어=en}}</ref>{{rp|§2.1, §4.1}}

초등각 [[화살집 도형|화살집]] 게이지 이론들은 [[가이오토 이중성]]이라는 이중성들을 보인다. 이는 [[6차원 (2,0) 초등각 장론]] ([[M5-막]]의 세계부피 이론)을 [[리만 곡면]]에 [[축소화]]하여 유도할 수 있다.

== 예 ==
대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.
* 2차원
** [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]] — 이들은 완전히 분류된, 2차원 유니터리 유리(rational) 등각 장론들이다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|45,97}}<ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|공저자=Melanie Becker, [[존 헨리 슈워츠|John H. Schwarz]]|doi=10.2277/0511254865|제목=String Theory and M-Theory: A Modern Introduction|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|연도=2006|월=12|url=http://theory.caltech.edu/~stringbook/|bibcode=2007stmt.book.....B|언어=en|확인날짜=2013-07-03|보존url=https://web.archive.org/web/20150118104448/http://theory.caltech.edu/~stringbook/|보존날짜=2015-01-18|url-status=dead}}</ref>{{rp|71–72}}<ref name="BPZ"/> 이들은 유한 개의 1차장들을 가지며, '''등각 붓스트랩'''({{llang|en|conformal bootstrap}})을 통해 완전히 풀 수 있다. 이들의 중심 원소는
:::<math>c=1-\frac{6(m-n)}{mn}</math> (<math>m,n</math>은 [[서로소]] 양의 정수)
::의 꼴이다. [[임계점 (열역학)|임계점]] 근처에서의 [[이징 모형]]과 3상태 [[포츠 모형]]은 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]의 특수한 경우다.
** [[베스-추미노-위튼 모형]]은 [[아핀 리 대수]]로 정의되는 2차원 등각 장론이다. 이들은 3차원 [[위상 양자장론]]의 하나인 [[천-사이먼스 이론]]과 관련있다.
** [[리우빌 장론]]은 2차원 무리(irrational) 등각 장론이며, 하나의 [[딜라톤]]을 포함하는 2차원 [[양자 중력]]을 나타낸다. [[행렬 이론]]과 관계있다.
** [[끈 이론|(초)끈 이론]]에서, [[끈 (물리학)|기본 끈]] 위에 존재하는 [[세계면]] 이론은 2차원 (초)등각 장론이다.
* 3차원
** [[M2-막]] 위에 존재하는 이론으로 여겨지는 ABJM 이론은 3차원 [[초등각 장론]]이다.
* 4차원
** [[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론|4차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론]]은 [[초등각 장론]]이다. 이는 IIB종 초끈 이론에서 [[D-막|D3-막]]의 세계부피 이론이며, [[모듈러 군|SL(2,ℤ)]] [[S-이중성]]을 가진다. 이는 [[AdS/CFT 대응성]]의 원래 예이다.
* 6차원
** [[M5-막]] 위에 존재하는 세계면 이론은 [[6차원 (2,0) 초등각 장론]]이다.

== 응용 ==
=== 끈 이론 ===
{{본문|끈 이론}}
등각 장론은 [[끈 이론]]에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 [[2차원 등각 장론]]이어야 한다. (초끈의 경우 이론은 [[2차원 𝒩=1 초등각 장론]]이 된다.) 이 장론의 등각 변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, [[AdS/CFT 대응성]]에 따르면 특수한 경우 [[중력]]은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각 장론과 같다. 따라서 <math>\mathcal N=4</math> [[양-밀스 이론]] 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다.

=== 통계역학 ===
등각 장론은 [[통계역학]]에서 침투({{lang|en|percolation}}) 현상 및 일반적인 [[임계 현상]]을 다루는 데 응용된다.<ref>{{저널 인용|성=Cardy|이름=John|저자링크=존 카디|제목=Conformal invariance and percolation|연도=2001-03|arxiv=math-ph/0103018|bibcode=2001math.ph...3018C}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Cardy|이름=John|저자링크=존 카디|제목=Conformal field theory and statistical mechanics|연도=2008|arxiv=0807.3472|bibcode=2008arXiv0807.3472C}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Conformal invariance: An introduction to loops, interfaces and stochastic Loewner evolution|저자=Malte Henkel, Dragi Karevski|isbn=978-3-642-27933-1|doi=10.1007/978-3-642-27934-8|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Conformal Invariance and Critical Phenomena|성=Henkel|이름=Malte|isbn=978-3-540-65321-9|연도=1999|출판사=Springer|doi=10.1007/978-3-662-03937-3|기타=Texts and Monographs in Physics|issn=1864-5879}}</ref>

=== 비입자 ===
[[하워드 조자이]]는 실제 세계에서, 4차원 등각 장론을 따르는 입자들이 [[표준 모형]] 입자와 공존할 수 있다는 가능성을 제기하였다.<ref>{{저널 인용
 |날짜=2007
 |제목=Unparticle physics
 |이름=Howard|성=Georgi
 |저자링크=하워드 조자이
 |journal=Physical Review Letters
 |doi=10.1103/PhysRevLett.98.221601
 |volume=98 |issue=22 |pages=221601
 |arxiv=hep-ph/0703260
|bibcode = 2007PhRvL..98v1601G| 언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용
 |이름=Howard|성=Georgi
 |저자링크=하워드 조자이
 |날짜=2007
 |title=Another odd thing about unparticle physics
 |journal=Physics Letters B
 |doi=10.1016/j.physletb.2007.05.037
 |volume=650 |issue=4 |pages=275–278
 |arxiv=0704.2457
|bibcode = 2007PhLB..650..275G | 언어=en}}</ref> 이 경우, 등각 장론을 따르는 장들은 통상적인 입자를 이루지 않으므로, 이러한 물질을 '''비입자'''(非粒子, {{llang|en|unparticle}})라고 한다.

== 역사 ==
등각 장론은 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈({{llang|ru|Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин}})과 [[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프]], [[알렉산드르 자몰롯치코프]]가 제창하였다.<ref name="BPZ">{{저널 인용|성=Belavin|이름=A.A.|공저자=[[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프|A. M. Polyakov]], [[알렉산드르 자몰롯치코프|A. B. Zamolodchikov]]|제목=Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory|저널=Nuclear Physics B|volume=241|issue=2|쪽=333–80|날짜=1984-07|doi=10.1016/0550-3213(84)90052-X|bibcode=1984NuPhB.241..333B|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주|25em}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Conformal+field+theory|제목=Conformal field theory|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2015-03-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150324040723/http://ncatlab.org/nlab/show/conformal+field+theory|보존날짜=2015-03-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Conformal+field+theory+in+four+and+six+dimensions|제목= Conformal field theory in four and six dimensions |웹사이트=nLab|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[등각 사상]]
* [[임계 현상]]
* [[초등각 장론]]
* [[2차원 등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=1 초등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=2 초등각 장론]]
* [[베스-추미노-위튼 모형]]
* [[아핀 리 대수]]
* [[끈 이론]]
* [[AdS/CFT 대응성]]

{{전거 통제}}

[[분류:대칭]]
[[분류:등각 장론| ]]