등각 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Conformal_map.svg|오른쪽|섬네일| 등각 사상 <math>f</math>에 대한 직사각형 격자와 그 이미지.]]

'''등각 사상'''(等角 寫像, {{llang|en|conformal map}})은 [[각 (수학)|각도]]를 국소적으로 보존하는 [[함수]]이다.

<math>\mathbb{R}^n</math>의 열린 부분집합 <math>U</math>와 <math>V</math>에 대해 함수 <math>f:U\to V</math>가 점 <math>u_0\in U</math>를 지나는 모든 방향이 있는 두 [[곡선]]들 사이의 각도와 방향을 유지하면 <math>u_0</math>에서 '''등각''' (또는 '''각도 보존''' )이라고 한다. 대략적으로 서술하면, 등각 사상은 무한히 작은 그림의 각도와 모양을 모두 보존하지만 반드시 크기나 [[곡률]]을 보존하지는 않는다.

등각적 성질은 [[좌표계|좌표 변환]]의 [[야코비 행렬]]로 설명될 수 있다. 각 점에서 야코비 행렬이 양의 스칼라 곱하기 [[회전변환행렬|회전 행렬]](결정 행렬과 [[직교행렬|직교]] )이면 이 변환은 등각적이다. 일부 저자는 야코비안이 임의의 스칼라 곱하기 임의의 직교 행렬로 적을 수 있는 반전 사상을 포함하도록 등각성을 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=Inversion Theory and Conformal Mapping|성=Blair|이름=David|날짜=2000-08-17|총서=The Student Mathematical Library|권=9|출판사=American Mathematical Society|위치=Providence, Rhode Island|doi=10.1090/stml/009|isbn=978-0-8218-2636-2}}</ref>

2차원 사상의 경우 (방향 유지) 등각 사상은 정확히 국소적으로 역함수를 가지는 [[정칙 함수|복소 해석 함수]]이다. 3차원 이상에서 리우빌 정리는 등각 사상을 몇 가지 유형으로 제한한다.

등각성의 개념은 리만 다양체 또는 [[준 리만 다양체]] 사이의 사상에 자연스러운 방식으로 일반화된다.

== 2차원 등각 사상 ==
<math>U</math>가 복소 평면 <math>\mathbb{C}</math>의 [[열린집합|열린 부분 집합]]이면, [[함수]] <math>f:U\to\mathbb{C}</math>가 [[정칙 함수|정칙]]이고 그 [[미분|도함수]]가 <math>U</math>의 모든 곳에서 0이 아님과 <math>f</math>가 등각 사상임은 동치이다. 만약에 <math>f</math>가 반정칙(정칙 함수에 [[켤레 복소수|켤레]])이면, 각도는 유지하지만 방향을 반대로 바꾼다.

문헌에는 등각에 대한 또 다른 정의가 있다: 함수 <math>f</math>가 평면의 열린 집합에서 일대일이고 정칙이다. 열린 사상 정리는 [[역함수]](<math>f</math>의 이미지에 정의됨)가 정칙임을 보장한다. 따라서, 이 정의에 따르면 사상이 쌍정칙임과 등각임이 동치다. 등각 사상에 대한 위의 두 가지 정의는 동일하지 않다. 일대일이고 정칙이라는 것은 0이 아닌 도함수를 갖는 것을 의미한다. 그러나 지수함수는 0이 아닌 도함수를 가지는 정칙함수이지만 주기적이기 때문에 일대일이 아니다.<ref>Richard M. Timoney (2004), [http://www.maths.tcd.ie/~richardt/414/414-ch7.pdf Riemann mapping theorem] from [[Trinity College Dublin]]</ref>

[[복소해석학]]의 심오한 결과 중 하나인 [[리만 사상 정리]]는 다음과 같다: <math>\mathbb{C}</math>의 모든 비어 있지 않은 [[단일 연결 공간|단일 연결]] 열린 진부분 집합에서 <math>\mathbb{C}</math>의 열린 [[단위 원판]]으로 가는 [[전단사 함수|전단사]] 등각 사상이 존재한다.

=== 리만 구 위에서 대역적 등각 사상 ===
[[리만 구]] 자체 대한 [[전사 함수|전사]]함수가 [[뫼비우스 변환]]임과 등각임은 동치이다.

뫼비우스 변환의 켤레 복소수는 각도를 유지하지만 방향을 반전시킨다. 예를 들어, [[반전기하학|원 반전]]이 있다.

== 3차원 이상에서 등각 사상 ==
=== 리만 기하학 ===
[[리만 기하학]]에서 매끄러운 다양체 <math>M</math>에 주어진 두 개의 [[리만 다양체|리만 계량]] <math>g</math>와 <math>h</math>는 <math>M</math>에서 정의된 어떤 양함수 <math>u</math>에 대해 <math> g = u h </math>인 경우 '''등각적 등치'''라고 한다. 이때 함수 <math>u</math>를 '''등각 인자'''라고 한다.

두 리만 다양체 사이의 [[미분동형사상]]은 당겨진 계량이 원래 계량과 일치하는 경우 '''등각 사상'''이라고 한다. 예를 들어, [[무한원점]]으로 확대된 [[평면]]에 대한 [[구 (기하학)|구면]]의 입체 사영은 등각 사상이다.

매끄러운 다양체에서 '''등각 구조'''를 등각적으로 동치인 [[리만 다양체|리만 계량]]들의 동치류로 정의할 수도 있다.

=== 유클리드 공간 ===
[[조제프 리우빌]]의 고전적 정리는 2차원에서보다 고차원에서 등각 사상가 훨씬 적다는 것을 보여준다. [[유클리드 공간]]의 열린 부분집합에서 3차원 이상의 동일한 유클리드 공간으로 가는 모든 등각 사상은 세 가지 유형의 변환인 [[중심 닮음 변환]], 등장 변환 및 특수 등각 변환으로 구성될 수 있다.

== 응용 ==
=== 맥스웰 방정식 ===
{{본문|Spherical wave transformation}}
에베네저 커닝햄(1908)과 해리 배이트먼(1910)은 [[맥스웰 방정식]]의 관련 해에 대한 많은 등각 사상들을 규명했다. 케임브리지 대학에서의 교육을 통해 [[영상법]]과 구체 및 반전에 대한 관련 영상법을 쉽게 익힐 수 있었다.<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw|제목=Masters of theory : Cambridge and the rise of mathematical physics|성=Warwick|이름=Andrew|날짜=2003|출판사=[[University of Chicago Press]]|쪽=[https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw/page/404 404–424]|isbn=978-0226873756}}</ref>

:

워릭은 이 "새로운 [[상대성이론|상대성 이론]]"을 아인슈타인에 대한 케임브리지의 반응으로 강조하고 [[제임스 호프우드 진스]] 교과서 ''전기 및 자기의 수학 이론'' 에서 발견되는 것과 같은 반전 방법을 사용하는 연습을 기반으로 한다.

=== 일반 상대성 이론 ===
[[일반 상대성이론]]에서 등각 사상은 가장 단순하고 따라서 가장 일반적인 유형의 인과적 변환이다. 물리적으로 이들은 모든 동일한 사건과 상호 작용이 여전히 (인과적으로) 가능한 다른 우주를 설명하지만 이에 영향을 미치기 위해서는 새로운 힘이 필요하다(즉, 모든 동일한 궤적의 복제는 [[측지선]] 운동에서 벗어나야 한다. 계량이 다르다). 예를 들어 [[대폭발|빅뱅]] 이전의 우주에 대한 설명을 허용하기 위해 모델을 [[중력 특이점]]을 넘어 확장할 수 있도록 만드는 데 자주 사용된다.

== 같이 보기 ==
* [[이중정형 지도|쌍정칙 사상]]
* 카라테오도리 정리 – 등각 사상은 경계까지 연속적으로 확장된다.
* [[펜로즈 그림|펜로즈 다이어그램]]
* [[등각순환우주론]]
* [[슈바르츠–크리스토펠 매핑|슈바르츠-크리스토펠 사상]] – 단순한 다각형의 내부로 상반면의 등각 변환
* [[특수선형군]] – 부피 및 방향을 유지하는 변환

== 각주 ==
{{각주}}

== 더 읽어보기 ==
* {{인용|last1=Ahlfors|first1=Lars V.|title=Conformal invariants: topics in geometric function theory|publisher=McGraw–Hill Book Co.|location=New York|mr=0357743|year=1973}}
* [[:en:Constantin_Carathéodory|Constantin Carathéodory]] (1932) ''Conformal Representation'', Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
* {{인용|last=Chanson|first=H.|author-link=Hubert Chanson|title=Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112|publisher=CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages|year=2009|isbn=978-0-415-49271-3}}
* {{인용|last1=Churchill|first1=Ruel V.|author-link=Ruel Churchill|title=Complex Variables and Applications|publisher=McGraw–Hill Book Co.|location=New York|isbn=978-0-07-010855-4|year=1974|url-access=registration|url=https://archive.org/details/complexvariable00chur}}
* {{springer|id=C/c024780|title=Conformal mapping|author=E.P. Dolzhenko}}
* {{인용|last1=Rudin|first1=Walter|author1-link=Walter Rudin|title=Real and complex analysis|publisher=McGraw–Hill Book Co.|location=New York|edition=3rd|isbn=978-0-07-054234-1|mr=924157|year=1987}}
* {{매스월드|title=Conformal Mapping|urlname=ConformalMapping}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* [http://virtualmathmuseum.org/ConformalMaps/index.html Interactive visualizations of many conformal maps]
* [http://www.davidbau.com/conformal Online Conformal Map Grapher].
* [http://airfoil.dimanov.com/ Joukowski Transform Interactive WebApp]

{{전거 통제}}

[[분류:각]]
[[분류:리만 기하학]]