등각 벡터장 문서 원본 보기

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[[리만 기하학]]에서 '''등각 벡터장'''(等角vector場, {{llang|en|conformal vector field}})은 [[킬링 벡터장]]의 일반화이다.

== 정의 ==
[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 '''닮음 벡터장'''({{llang|en|homothetic vector field}}) <math>(X,\phi)</math>는 다음을 만족시키는, [[벡터장]] <math>X\in\Gamma(\mathrm TM)</math>과 실수 <math>c\in\mathbb R</math>의 [[순서쌍]]이다.
:<math>\mathcal L_Xg=cg</math>
:<math>\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu=cg_{\mu\nu}</math>
만약 <math>c=0</math>인 경우는 <math>X</math>는 [[킬링 벡터장]]이므로, 닮음 벡터장은 킬링 벡터장을 일반화한 것이다.

'''등각 벡터장'''({{llang|en|conformal vector field}}) <math>(X,\phi)</math>는 다음을 만족시키는, [[벡터장]] <math>X\in\Gamma(\mathrm TM)</math>과 스칼라장 <math>\phi\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>의 [[순서쌍]]이다.<ref name="Schottenloher">{{서적 인용|제목=A mathematical introduction to conformal field theory based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg|url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/|이름=Martin|성=Schottenloher|isbn= 978-3-540-68625-5|연도=2008|doi=10.1007/978-3-540-68628-6|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린]]|mr=2492295|zbl=1161.17014|판=2|총서=Lecture Notes in Physics|권=759|언어=en}}</ref>{{rp|13}}
:<math>\mathcal L_Xg=\phi g</math>
:<math>\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu=\phi g_{\mu\nu}</math>
스칼라장 <math>\phi</math>는 '''등각 인자'''(等角因子, {{llang|en|conformal factor}})라고 불린다. 만약 <math>\phi</math>가 [[상수 함수]]인 경우는 <math>X</math>는 닮음 벡터장이므로, 등각 킬링 벡터장은 [[킬링 벡터장]]과 닮음 벡터장을 일반화한 것이다.

== 성질 ==
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:{| style="text-align: center"
! 개념
| [[킬링 벡터장]] || ⇒ || 닮음 킬링 벡터장 || ⇒ || 등각 벡터장 || ⇒ || 벡터장
|-
! 등각 킬링 인자가 …
| 0 || || [[상수 함수]] || || 임의의 스칼라 함수 || || (없음)
|}

=== 등각 인자의 조건 ===
<math>d</math>차원 [[일반화 리만 다양체]]에서 어떤 스칼라장 <math>\phi</math>가 등각 인자가 될 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.<ref name="Schottenloher"/>{{rp|14–15}}
:<math>\left((d-2)\nabla_\mu\nabla_\nu+g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}\nabla_\rho\nabla_\sigma\right)\phi=0</math>
위 조건을 <math>g^{\mu\nu}</math>로 축약시키면, 모든 차원에서 등각 인자들은 [[라플라스-벨트라미 연산자]] <math>g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu</math>에 대한 [[조화 함수]]인 것을 알 수 있다. <math>d=2</math>인 경우, 이 조건은 [[필요 충분 조건]]이다. 즉, 등각 인자일 조건은 [[조화 함수]]인 조건과 [[동치]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]