드 브루인-뉴먼 상수 문서 원본 보기

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'''드 브루인-뉴먼 상수'''(De Bruijn–Newman constant)는 <math>\Lambda </math> 로 표시되고 [[니콜라스 드 브루인]](Nicolaas Govert de Bruijn)과 [[찰스 뉴먼]](Charles M. Newman)의 이름을 따서 명명되었고, 함수 <math>H(\lambda, z)</math> 의 영점을 통해 정의된다. 여기서 <math>\lambda</math>는 실수인 매개 변수이고 <math>z</math>는 복소수 변수이다.
<math>\lambda \ge \Lambda </math> 인 경우에서만 <math>H</math>는 실근을 가지게 된다.

이 상수는 리만 가설과 밀접하게 관련되어있다. 단적으로, 리만 가설은 <math>\Lambda \le 0</math>이라는 추측과 동일하다.

드 브루인(De Bruijn)은 1950년에 <math>\lambda \ge {1\over 2}</math>이어야만 <math>H</math>가 실근을 가짐을 보였고, 또한 어떤 <math>\lambda</math>에 대해 <math>H</math>가 실근만을 가질 경우 <math>\lambda</math>보다 더 큰 임의의 실수에 대해서도 실근만을 갖는다는 것을 보여 주었다. Newman은 1976년에 <math>H</math>가 실근을 가지는 경우가 오직 <math>\lambda \ge \Lambda </math> 일 때라는 이 명제에서의 <math>\Lambda </math>가 상수임을 증명하였고, 이는 <math>\Lambda </math>가 유일성을 가진다는 것도 증명해주었다.

뉴먼(Newman)은 <math>\Lambda \geq 0</math> 이라고 추측함으로서, 리만 가설의 흥미로운 대응을 보여주었다.

<math>\Lambda </math>에 대한 심화된 계산은 1988년 이래로 작성되었으며 아래 테이블에서 볼 수 있듯이 지금까지 확인되고 있다.
{| class="wikitable"
!Year||Lower bound on Λ
|-
|1988 || −50
|-
|1991 || −5
|-
|1990 || −0.385
|-
|1994 || −4.379{{e|−6}}
|-
|1993 || −5.895{{e|−9}}<ref>{{저널 인용|last1=Csordas | first1=G. |last2=Odlyzko | first2=A.M. | author2-link=Andrew Odlyzko |last3=Smith | first3=W. | last4=Varga | first4=R.S. | author4-link=Richard S. Varga |title=A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda |journal=Electronic Transactions on Numerical Analysis |volume=1 |pages=104–111 |year=1993 |url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/debruijn.constant.pdf |format=pdf |accessdate=June 1, 2012 | zbl=0807.11059 }}</ref>
|-
|2000 || −2.7{{e|−9}}<ref>{{저널 인용|first1=A.M. |last1=Odlyzko | authorlink=Andrew Odlyzko | title=An improved bound for the de Bruijn–Newman constant |journal=Numerical Algorithms |volume=25 |pages=293–303 |year=2000 | zbl=0967.11034 }}</ref>
|-
|2011 || −1.1{{e|−12}}<ref>{{저널 인용
 | last1 = Saouter | first1 = Yannick
 | last2 = Gourdon | first2 = Xavier
 | last3 = Demichel | first3 = Patrick
 | doi = 10.1090/S0025-5718-2011-02472-5
 | issue = 276
 | journal = Mathematics of Computation
 | mr = 2813360
 | pages = 2281–2287
 | title = An improved lower bound for the de Bruijn-Newman constant
 | volume = 80
 | year = 2011}}</ref>
|}

[[리만 제타 함수]]에서 자이 함수 <math>\xi</math>의 정의로 부터,
:<math> \xi (i z) = {1 \over 2} \left( z^2- {1 \over 4} \right) \pi^{ \left( {{-z}\over {2-{1\over 4}}} \right)} \Gamma \left({1\over 2}z + {1 \over 4} \right) \zeta \left( z+{1 \over 2}\right)</math>

[[푸리에 변환]]에서
:<math> H(\lambda , z) = \Phi(t)e^{\lambda t^2}</math>
:<math> \xi (1/2+iz)= A\sqrt \pi (\lambda)^{-1}  \int_{-\infty}^\infty e^{\frac{-1}{4\lambda}(x-z)^{2}} H(\lambda , x) \, dx </math>
:<math> H(0,x)=\xi(1/2+ix) </math>
:<math> H(z,\lambda)=B\sqrt \pi (\lambda)^{-1}  \int_{-\infty}^\infty  e^{\frac{-1}{4\lambda}(x-z)^{2}} \xi(1/2+ix) \, dx </math>

== 같이 보기 ==
* [[리만 제타 함수]]
* [[푸리에 변환]]
* [[수학 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{수학 상수}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:수학 상수]]
[[분류:해석적 수론]]