드루드 모형 문서 원본 보기

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[[파일:Electrona in crystallo fluentia.svg|섬네일|300 px|오른쪽|드루드 모형의 전자 (청색) 지속적으로 정적이고 무거운 격자의 이온들 사이에서 운동하고 있다(적색).]]

[[응집물질물리학]]에서 '''드루드 모형'''({{lang|en|Drude model}})은 [[도체]]를 다루는 간단한 모형이다. 도체 안의 [[자유 전자]]가 무한히 단단한 양이온에 부딪치면서 움직이는 것으로 가정한다.

드루드 모형은 전자의 [[운동 방정식]]에 관한 두 가지 중요한 결과를 도출해 낸다.
:<math>\frac{d}{dt}\mathbf{p}(t) = q\mathbf{E} - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau},</math>
그리고 [[전류 밀도]] <math>J</math>와 전기장 <math>E</math>의 선형관계를 이용하여,
:<math>\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.</math>
여기서 <math>t</math>는 시간, <math>p</math>, <math>q</math>, <math>n</math>, <math>m</math>, 그리고 <math>\tau</math>는 각각 전자의 운동량, 전하, 밀도, 질량 그리고 이온사이에 전자가 충돌하는데 걸리는 평균 시간이다. 뒤에 있는 방정식은 특별히 더 중요한데, 이 식으로부터 [[옴의 법칙]]이 왜 성립하는지를 유도해 낼 수 있다.

== 역사 ==
1900년대에 [[폴 드루드]]에 의해 처음 제안되었다. 1905년 [[헨드릭 로런츠]]는 '''드루드-로렌츠 모형'''으로 불리는, 보다 정확한 모형을 제안 하였다. 그 후 1933년 [[한스 베테]]와 [[아르놀트 조머펠트]]에 의해 양자역학이 반영된 결과로 드루드 모형은 확장되었다.

== 설명 ==
=== 직류 전류 ===
드루드 모형을 가장간단히 분석해 보려면 일단 전기장 <math>\mathbf{E}</math>를 균일하고 일정하다고 가정해야 한다. 그리고 열적 전자의 속도는 전자가 이온간 충돌평균시간인 <math>\tau</math> 안에 미소의 운동량<math>d\mathbf{p}</math> 축적하기에 충분히 빠르다고 가정하자.

이때 전자는 <math>\tau</math>의 시간동안 지난 충돌로부터 운동량을 축적하게 되고 미소 운동량의 변화량은
:<math>d\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.</math>
지난 충돌동안, 이 전자는 앞으로 되 튀긴것 같이 뒤로 튕겨 이전에 전자의 운동량에 기여된 량은 상쇄된다. 따라서
:<math>\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.</math>
이를 치환하여
::<math>\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,</math>
::<math>\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,</math>
이전에 언급한 옴의 법칙의 결과를 이용하여 아래와 같이 표현 할 수 있다.
:<math>\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.</math>

=== 드루드 모형에 따른 분산 ===
매질이 [[절연체]]일 때 전자는 결합력 때문에 [[분자]]에 붙어 있으므로, 전자가 상수 k인 [[용수철]] 끝에 달린 것이라고 생각한다면 [[변위]] y, [[전자 질량]] m, [[고유진동수]]<math> \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}</math>이라고 할 때, 이 전자가 받는 전기장은
:<math>\vec{E} = E_{0}\hat{y}e^{i(kx-\omega t)}</math>
이므로 위치에 따른 전자의 방정식은 아래와 같이 나타난다.
:<math>\ddot{y} = -\sigma \dot{y} - \omega_0 ^2 y + {{E}\over{m}}</math>
이때 <math>\omega_0 ^2 = k/m</math>이다. 이때 전기장을
:<math>E=E_0\exp(-i\omega t)</math>
라고 놓으면 위의 방정식을 풀 수 있다.

이에 따라 y에 대해 식을 풀면 y의 값은 아래와 같다.
:<math>y_0 = {{q/m}\over{(\omega_0^2 - \omega^2)-i\sigma \omega)}}E_0</math>

이때 쌍극자 모멘트는 위에서 구한 y값에 q를 곱한 값이므로 쌍극자 모멘트는 아래와 같다.
:<math>P = qy_0 = {{q^2/m}\over{(\omega_0^2 - \omega^2)-i\sigma \omega)}}E
</math>

방금까지는 전자에 속박되어 있는 하나의 전자에 대해서만 공식을 전개했지만, 일반적인 원자내에 있는 전자에 대해 공식을 적용시키면 다음과 같다.
<math>P = {{Nq^2}\over{m}}\Sigma g_j{1\over{(\omega_j^2 - \omega^2)-ir_j\omega)}}E_0, \Sigma g_j = Z</math>

여기서 N은 단위부피방 분자의 개수이고, Z는 분자당 전자의 개수, <math>g_j</math>는 진동수 <math>\omega_j</math>를 가지는 분자당 전자의 개수, 그리고 <math>\sigma_j</math>는 '''감쇠 인자'''({{lang|en|damping factor}})이다.

이제, 전기장 <math>\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}+\vec{P} = \varepsilon\vec{E}</math> 이므로, <math>\varepsilon</math>에 대하여 식을 전개할 수 있다.
:<math>\varepsilon=\varepsilon_{0}[1+\frac{Nq^{2}}{m\varepsilon_{0}}\sum\frac{f_{j}}{(\omega_{j}^{2}-\omega^{2})-i\gamma_{j}\omega}]</math>
:<math>k=\sqrt{\varepsilon\mu_{0}}\omega </math>이다.

일반적으로 ε의 두 번째 항이 작으므로 아래처럼 근사할 수 있다.
:<math>k\cong\frac{\omega}{c}[1+\frac{Nq^{2}}{2m\varepsilon_{0}}\sum\frac{f_{j}}{(\omega_{j}^{2}-\omega^{2})-i\gamma_{j}\omega}]</math>

따라서 굴절률은 다음과 같다.
:<math>n\cong[1+\frac{Nq^{2}}{2m\varepsilon_{0}}\sum\frac{f_{j}(\omega_{j}^{2}-\omega^{2})}{(\omega_{j}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma_{j}\omega}]</math>

위 식에서 진동수가 공명 진동수 근처가 되면 굴절률이 증가하였다 감소하는데, 일반적으로 잘 일어나지 않는다. 그리고 진동수가 공명 진동수와 유사할 때를 제외한다면, 진동수가 커질 때 굴절률이 감소한다는 것을 식을 통해서 확인할 수 있다. 진동수가 커질 수록 [[굴절률]] 변화에 관여 할 수 있는 요소가 작아짐으로 진동수가 만약 무한으로 커진다면 오직 전자의 진동만이 굴절률에 관여하기 때문에 굴절률은 1에 수렴 한다는 것을 알 수 있다.

== 드루드 모형의 정확성 ==
고전적인 드루드 모형은 금속의 [[직류]] 및 [[교류]] 전도와 [[홀 효과]] 그리고 실온에서의 전자에 의한 [[열전도]]에 대해 아주 잘 설명한다.

== 같이 보기 ==
* [[자유 전자 모형]]
* [[아르놀트 조머펠트]]
* [[전기저항률]]

[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:전류]]