뒤틀린 K이론 문서 원본 보기

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[[K이론]]에서, '''뒤틀린 K이론'''(뒤틀린K理論, {{llang|en|twisted K-theory}})은 어떤 3차 [[특이 코호몰로지류]]에 의존하는, [[위상 K이론]]의 일반화이다.<ref>{{저널 인용|날짜=2007|제목=Twisted ''K''-theory old and new|이름=Max|성=Karoubi|arxiv=math/0701789|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 공간]] <math>M</math>
* 3차 [[특이 코호몰로지]]류 <math>H\in\operatorname H^3(M;\mathbb Z)</math>
임의의 무한 차원 분해 가능 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 [[프레드홀름 작용소]]의 공간을
:<math>\operatorname{Fred}(\mathcal H)</math>
라고 하자. 이는 [[작용소 노름]]을 통하여 [[거리 공간]]을 이루며, 이는 0차 복소수 [[위상 K군]]의 [[분류 공간]]이다.
:<math>\operatorname K^0(-) = [-,\operatorname{Fred}(\mathcal H)]</math>
<math>\mathcal H</math>의 [[사영 유니터리 군]]
:<math>1\to\mathbb C^\times\operatorname{id}_{\mathcal H}\to\operatorname{PU}(\mathcal H) \to \operatorname U(\mathcal H) \to 1</math>
을 생각하자. 그 [[호모토피 유형]]은 [[무한 순환군]]의 2차 [[에일렌베르크-매클레인 공간]] <math>\operatorname K(\mathbb Z,2)</math>이다.
:<math>\operatorname{PU}(\mathcal H) \simeq \operatorname K(\mathbb Z,2)</math>
따라서, <math>H</math>에 대응되는 <math>\operatorname{PU}(\mathcal H)</math>-[[주다발]]
:<math>\operatorname{PU}(\mathcal H) \hookrightarrow P \twoheadrightarrow M</math>
을 고를 수 있다. 그렇다면, <math>\operatorname{PU}(\mathcal H)</math>는 <Math>P</math> 및 <math>\operatorname{Fred}(\mathcal H)</math> 위의 [[오른쪽 군 작용]]을 갖는다.
:<math>\operatorname{Fred}(\mathcal H) \times \operatorname{PU}(\mathcal H) \to \operatorname{Fred}(\mathcal H)</math>
:<math>(A,[U]) \mapsto U^{-1}AU \qquad\forall U\in \operatorname U(\mathcal H)</math>
따라서, [[등변 함수]]
:<math>P \to \operatorname{Fred}(\mathcal H)</math>
의 개념을 정의할 수 있다.

=== 등변 호모토피류를 통한 정의 ===
<math>M</math>의, <math>H</math>에 대한 '''뒤틀린 K군'''은 등변 연속 함수 공간의 [[연결 성분]]의 집합
:<math>\operatorname K(M,H) = [P_H,\operatorname{Fred}(\mathcal H)]_{\operatorname{PU}(\mathcal H)}</math>
이다.

=== 단면 호모토피류를 통한 정의 ===
[[연관 벡터 다발]]
:<math>P_H \times_{\operatorname{PU}(\mathcal H)} \operatorname{Fred}(\mathcal H)</math>
를 생각하자. <math>M</math>의, <math>H</math>에 대한 '''뒤틀린 K군'''은 그 연속 [[단면 (올다발)|단면]]의 공간의 [[연결 성분]]의 집합이다.
:<math>\operatorname K(M,H) = [M,P_H \times_{\operatorname{PU}(\mathcal H)}]_M</math>

== 연산 ==
뒤틀린 K군은 [[아벨 군]]을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다.
:<math>\operatorname K^0(M;H) \times  \operatorname K^0(M;H') \to \operatorname K^0(M;H) \times  \operatorname K^0(M;H+H')</math>
즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 [[가환환]]을 이룬다.

== 예 ==
일반 [[위상 K이론]]의 [[분류 공간]]은 무한 차원 분해 가능 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의  즉, 어떤 위상 공간 <math>M</math>의 0차 복소수 [[위상 K군]]은 호모토피류로 주어진다.
:<math>\operatorname K^0(M) = [M,\operatorname{Fred}(\mathcal H)]</math>

즉, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 자명한 <math>\operatorname{PU}(\mathcal H)</math>-[[주다발]]
:<math>P = M \times \operatorname{PU}(\mathcal H)</math>
을 정의하였을 때, 함수
:<math>P \to \operatorname{Fred}(\mathcal H)</math>
가운데 <math>\operatorname{PU}(\mathcal H)</math>의 작용에 대한 [[등변 함수]]인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 [[위상 K군]]과 같다.
:<math>\operatorname K^0(M) = [P,\operatorname{Fred}(\mathcal H)]_{\operatorname{PU}(\mathcal H)}</math>

이제, 위 구성을 자명한 <math>\operatorname{PU}(\mathcal H)</math>-[[주다발]] 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우, <math>\mathcal H</math>의 [[사영 유니터리 군]] <math>\operatorname{PU}(\mathcal H)</math>은
따라서, <math>\operatorname{PU}(\mathcal H)</math>-주다발은 <math>M</math>의 3차 [[코호몰로지류]] <math>\operatorname H^3(M;\mathbb Z)</math>로 분류된다.

== 응용 ==
뒤틀린 K이론은 [[끈 이론]]의 [[D-막]]을 분류한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0108100|날짜=2010|제목=D-brane instantons and K-theory charges|이름=Juan|성=Maldacena|저자링크=후안 말다세나|이름2=Gregory|성2=Moore|저자링크2=그레고리 윈스럽 무어|이름3=Nathan|성3=Seiberg|저자링크3=나탄 자이베르그|언어=en}}</ref> 이 경우, 사용된 3차 [[코호몰로지류]]는 [[캘브-라몽 장]]의 장세기이다.

== 역사 ==
막스 카루비({{llang|fr|Max Karoubi}})와 피터 도노번({{llang|en|Peter Donovan}})이 1960년대 말에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Max|성=Karoubi|제목=Algèbres de Clifford et K-théorie|저널=Ann. Sci. École Normal Superieur|쪽=161–270|날짜=1968|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Peter|성=Donovan|이름2=Max|성2=Karoubi|제목=Graded Brauer groups and ''K''-theory with local coefficients|저널=Publications Mathématiques de l’IHÉS|권=38|쪽=5–25|날짜=1970|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[물리학에서 K이론]]
* [[베스-추미노-위튼 모형]]
* [[다발 제르브]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=twisted K-theory|title=Twisted K-theory}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:K이론]]
[[분류:끈 이론]]