뒤틀린 드람 코호몰로지 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]과 [[대수적 위상수학]]과 [[이론물리학]]에서 '''뒤틀린 드람 코호몰로지'''(뒤틀린de Rham cohomology, {{llang|en|twisted de Rham cohomology}})는 홀수 차수 [[드람 코호몰로지]]류를 갖춘 [[매끄러운 다양체]] 위에 정의되는 [[코호몰로지]]이다.<ref name="Cavalcanti">{{서적 인용|제목=New aspects of the ''dd<sup>c</sup>'' lemma|이름=Gil|성=Cavalcanti|기타=박사 학위 논문|출판사=[[옥스퍼드 대학교]]|날짜=2004|arxiv=math/0501406|언어=en}}</ref>{{rp|§1.4}} 정수 등급을 갖는 (뒤틀리지 않은) [[드람 코호몰로지]]와 달리, 뒤틀린 드람 코호몰로지의 등급은 오직 0 또는 1 밖에 없다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
** 그 위에 [[미분 형식]]의 공간 <math>\Omega^\bullet(M)</math>을 정의할 수 있다.
** 짝수 차수 미분 형식의 공간 <math>\textstyle\Omega^{2\mathbb Z}(M) = \bigoplus_{i=0}^\infty\Omega^{2i}(M)</math>과 홀수 차수 미분 형식의 공간 <math>\textstyle\Omega^{1+2\mathbb Z}(M) = \bigoplus_{i=0}^\infty\Omega^{2i+1}(M)</math>을 정의할 수 있다.
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
** 이에 따라 [[벡터 값 미분 형식]]의 공간 <math>\Omega^\bullet(M;E)</math>을 정의할 수 있다.
* 평탄 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla \colon \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes\mathrm T^*M)</math>
** 이에 따라 [[벡터 값 미분 형식]]의 [[외미분]] <math>\mathrm d_\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)</math>을 정의할 수 있으며, <math>\mathrm d_\nabla \circ\mathrm d_\nabla = 0</math>이다.
* 홀수 차수 [[닫힌 미분 형식]] <math>H \in \Omega^{1+2\mathbb Z}(M)</math>
그렇다면,
:<math>\mathrm d_\nabla^H = \mathrm d_\nabla + H\wedge \colon \Omega^{\bullet+2\mathbb Z}(M;E) \to \Omega^{\bullet+1+2\mathbb Z}(M;E) </math>
을 정의할 수 있다. 이 경우
:<math>\mathrm d_\nabla^H \circ \mathrm d_\nabla^H = 0</math>
이므로, [[완전열]]
:<math>\dotsb \to\Omega^{2\mathbb Z}(M;E) \,\overset{\mathrm d_\nabla^H}\to\,\Omega^{1+2\mathbb Z}(M;E) \,\overset{\mathrm d_\nabla^H}\to\, \Omega^{2\mathbb Z}(M;E)\,\overset{\mathrm d_\nabla^H}\to\,\Omega^{1+2\mathbb Z}(M;E) \to \dotsb</math>
을 정의할 수 있다. 그 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname H_H^{i+2\mathbb Z}(M;E)\qquad(i\in\{0,1\})</math>
를 '''뒤틀린 드람 코호몰로지'''라고 한다.

== 성질 ==
뒤틀린 드람 코호몰로지는 사실 드람 코호몰로지류에만 의존한다. 즉, 임의의
:<math>H\in\Omega^{1+2\mathbb Z}(M)</math>
:<math>B\in\Omega^{2\mathbb Z}(M)</math>
에 대하여, 항상 표준적으로
:<math>\operatorname H^{\bullet+2\mathbb Z}_H(M;E) \cong \operatorname H^{\bullet+2\mathbb Z}_{H+\mathrm dB}(M;E)</math>
이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathrm d_\nabla^{H+\mathrm dB} = \exp(-B\wedge)\mathrm d_\nabla^H\exp(B\wedge)</math>
이다.
</div></div>

홀수 차수 [[미분 형식]]
:<math>H = \sum_{i=0}^\infty H_{2i+1}</math>
:<math>H_{2i+1} \in \Omega^{2i+1}(M)</math>
으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지에서, <math>H_1\in\Omega^1(M)</math>은 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math>의 접속으로 흡수할 수 있다. 즉, <math>E</math>의 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math>를
:<math>\mathrm d_{\nabla'} = \mathrm d_\nabla + H_1\wedge</math>
:<math>H' = H - H_1</math>
로 재정의하면,
:<math>\mathrm d^{H'}_{\nabla'} = \mathrm d^H_\nabla</math>
이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 <math>H_1 = 0</math>로 놓을 수 있다.

=== 동차성 ===
홀수 차수 [[미분 형식]]
:<math>H = \sum_{i=0}^\infty H_{2i+1}</math>
:<math>H_{2i+1} \in \Omega^{2i+1}(M)</math>
으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지가 주어졌다고 하자. 다음을 정의하자.
:<math>H(t) = \sum_{i=1}^\infty t^iH_{2i+1}\qquad(t\in\mathbb R^\times)</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref>{{저널 인용|이름1=Varghese|성=Mathai|이름2=Siye|성2=Wu|제목=Analytic torsion for de Rham complexes|arxiv=0810.4204|날짜=2011|저널=Journal of Differential Geometry|권=88|쪽=297–332|언어=en}}</ref>{{rp|Proposition 1.1}}
:<math>\operatorname H^{i+2\mathbb Z}_H(M;E) \cong \operatorname H^{i+2\mathbb Z}_H(M;E)</math>
구체적으로,
:<math>c(t) \colon \Omega^\bullet(M) \to \Omega^\bullet(M)</math>
:<math>c(t) \restriction \Omega^i(M) = t^{\lfloor i/2\rfloor}</math>
를 정의하면,
:<math>c(t) \circ \mathrm d^H_\nabla \restriction \Omega^{i+2\mathbb Z}(M;E) = \lambda^i \mathrm d^{H(t)}_\nabla \circ c(t)</math>
이다.

이 변환에서, 1차 성분 <math>H_1</math>은 <math>t</math>에 의하여 변하지 않는다. 만약 1차 성분을 재정의할 경우 코호몰로지 차원이 바뀔 수 있다.

=== 형식적 다양체 ===
<math>H</math>가 [[3차 미분 형식]]이며, <math>E = M \times \mathbb R</math>가 자명한 접속을 갖는 자명한 [[벡터 다발]]인 경우를 생각하자. 이 경우, 만약 <math>M</math>이 [[형식적 공간]]이라면, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 (뒤틀리지 않은) [[드람 코호몰로지]]와 동형이다.<ref name="Cavalcanti"/>{{rp|Theorem 1.6}}
:<math>\operatorname H^\bullet_H(M;\mathbb R) \cong \operatorname H^\bullet(M;\mathbb R)</math>

== 응용 ==
[[끈 이론]]에서, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 [[라몽-라몽 장]]의 장세기를 나타낸다. 특히, [[위상 T-이중성]]은 서로 [[T-이중성]]으로 관련된 두 공간 사이의 뒤틀린 드람 코호몰로지의 동형을 정의한다.<ref name="BEM">{{저널 인용|이름=Peter |성=Bouwknegt|이름2=Jarah |성2=Evslin|이름3= Varghese |성3=Mathai|제목=T-duality: topology change from ''H''-flux|저널=Communications in Mathematical Physics|권=249|호=2|쪽=383–415|날짜=2004|arxiv=hep-th/0306062|doi=10.1007/s00220-004-1115-6|언어=en}}</ref>{{rp|§3.2}} 이 경우, 0 또는 1인 등급이 서로 뒤바뀌게 되는데, 이 두 등급은 각각 ⅡA 및 ⅡB형 [[초끈 이론]]에 해당한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=twisted de Rham cohomology|title=Twisted de Rham cohomology}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:끈 이론]]