뒤발 특이점 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''뒤발 특이점'''({{llang|en|du Val singularity}}) 또는 '''클라인 특이점'''({{llang|en|Kleinian singularity}})은 복소 [[대수 곡면]]의 [[특이점]]의 한 종류다. 이들은 최소분해({{llang|en|minimal resolution}})가 존재하며, 이는 ADE형의 [[딘킨 도표]]로 분류된다.

== 역사 ==
영국의 패트릭 뒤발({{llang|en|Patrick du Val}})<ref>{{맥튜터|id=Du_Val|title=Patrick Du Val|date=2010-02}}</ref>과 독일의 [[펠릭스 클라인]]의 이름을 땄다. 뒤발은 1934년에 이 특이점들을 연구하였다.<ref>{{저널 인용|first= Patrick|last= du Val|title=On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part I)|journal= Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume= 30 |날짜=1934-10|pages=  453–459, |doi=10.1017/S030500410001269X|issue= 4|zbl=0010.17602|issn=0305-0041 }}</ref><ref>{{저널 인용|first= Patrick|last= du Val|title=On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part II)|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume= 30 |날짜=1934-10|pages=   460–465|doi=10.1017/S0305004100012706|issue= 4|zbl=0010.17603|issn=0305-0041 }}</ref><ref>{{저널 인용|first= Patrick|last=du Val|title=On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction (Part III)|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume= 30 |날짜=1934-10|pages=  483–491|doi=10.1017/S030500410001272X|issue= 4|zbl=0010.17701|issn=0305-0041 }}</ref>

== 분류 ==
[[파일:Simply Laced Dynkin Diagrams.svg|섬네일|뒤발 특이점은 ADE형의 [[딘킨 도표]]에 의하여 분류된다.]]
뒤발 특이점은 다음과 같은 꼴이다. 여기서 <math>w,x,y\in\mathbb C</math>는 복소 변수이며, 이들은 <math>\mathbb C^3</math> 속에 복소 2차원 아핀 [[대수다양체]]를 이룬다. 이 대수 곡면들은 <math>w=x=y=0</math>에 특이점을 가진다.
* ''A''<sub>''n''</sub>: <math>w^2+x^2+y^{n+1}=0</math>
* ''D''<sub>''n''</sub>: <math> w^2+y(x^2+y^{n-2}) = 0 </math> (''n''≥4)
* ''E''<sub>6</sub>: <math>w^2+x^3+y^4=0  </math>
* ''E''<sub>7</sub>: <math> w^2+x(x^2+y^3)=0 </math>
* ''E''<sub>8</sub>: <math> w^2+x^3+y^5=0. </math>

이들은 <math>\mathbb C^2</math>를 <math>SL(2;\mathbb C)</math>의 유한 부분군의 작용으로 [[몫공간]]을 취한 것으로 볼 수 있다. <math>SL(2;\mathbb C)</math> (또는 <math>SU(2)</math>)의 부분군들은 '''이진다면체군'''({{llang|en|binary polyhedral group}})이라고 불리며, 이들에 대한 ADE 분류가 존재한다. (이를 '''매케이 대응성'''({{llang|en|McKay correspondence}})이라고 한다.<ref>{{서적 인용|성=McKay|이름=John|날짜=1980|장=Graphs, singularities, and finite groups|제목=Proceedings of 1979 Santa Cruz group theory conference|총서=AMS Symposia in Pure Mathematics|권=37|쪽=183–186|isbn=0-8218-1440-0|mr=0604577|zbl=0451.05026|언어=en}}</ref>) 이에 따라, 뒤발 특이점 또한 ADE로 분류된다. 여기서 "이진"이란 [[SU(2)]]=Spin(3)는 [[SO(3)]]의 이중피복군이므로, 이진다면체군은 SO(3)의 부분군(다면체군)의 이중피복에 해당하기 때문이다. 이들은 (SO(3)의 부분공간으로서) 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! ADE 분류 !! SO(3) 부분군
|-
| A<sub>''n''</sub> || ''n''+1차 [[순환군]] <math>Z_{n+1}</math>
|-
| D<sub>''n''</sub> || 2''n''차 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}_{n}</math>
|-
| E<sub>6</sub> || 정사면체군 ([[정사면체]]의 대칭군)
|-
| E<sub>7</sub> || 정팔면체군 ([[정육면체]]와 [[정팔면체]]의 대칭군)
|-
| E<sub>8</sub> || 정이십면체군 ([[정십이면체]]와 [[정이십면체]]의 대칭군)
|}

구체적으로, [[체의 표수|표수]]가 0인 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, 뒤발 특이점을 갖는 아핀 대수다양체
:<math>X = \operatorname{Spec}\frac{K[w,x,y]}{(p)}</math>
를 생각하자. 이는 원점 <math>(x,y,z)</math>에서 특이점을 갖는다. 이를 해소하기 위하여 특이점에서 [[부풀리기]]를 취할 수 있다. 이 경우, 일반적으로 여러 번 부풀리기를 취해야만 한다. 부풀리기를 하여 얻은 [[유리 곡선]]들은 항상 자기 [[교차수]] −2를 가지며, 이들은 물론 서로 [[교차수]]를 갖게 된다. 이 교차수들은 항상 0 또는 1이다. 이 경우, 다음과 같은 [[유한 그래프]] <math>\Gamma</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\Gamma</math>의 각 꼭짓점은 예외 인자(자기 [[교차수]] −2의 유리 곡선)이다.
* <math>\Gamma</math>의 서로 다른 두 꼭짓점 사이에 변이 있을 [[필요 충분 조건]]은 이에 대응하는 예외 인자가 교차하는 ([[교차수]]가 1인) 것이다.
그렇다면 <math>\Gamma</math>는 ADE형의 [[딘킨 도표]]이다.

== 응용 ==
[[끈 이론]]에서는 [[축소화]]하는 3차원 복소 다양체에 따라 4차원 물리가 결정된다. 이 3차원 복소 다양체는 [[오비폴드]] 꼴의 특이점을 가질 수 있는데, 이는 국소적으로 뒤발 특이점이다. 뒤발 특이점의 [[딘킨 도표]]는 4차원 물리의 [[화살집 도형]]과 같다. 이는 [[D-막]]이 특이점에 감겨 있기 때문이다. D-막의 배열은 뒤발 특이점의 [[부풀리기]]의 꼴과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi-Yau singularities
|이름=Yang-Hui|성=He|arxiv=hep-th/0408142|bibcode=2004hep.th....8142H|날짜=2004|언어=en}}</ref> 이는 프레디 카차소({{llang|es|Freddy Alexander Cachazo}})와 셸던 카츠({{llang|en|Sheldon Katz}}), [[캄란 바파]]가 2001년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Geometric transitions and 𝒩=1 quiver theories|이름=Freddy|성=Cachazo|공저자=Sheldon Katz, [[캄란 바파|Cumrun Vafa]]|arxiv=hep-th/0108120|bibcode=2001hep.th....8120C|날짜=2001|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용 | last=Artin | first=Michael |저자링크=마이클 아틴| title=On isolated rational singularities of surfaces | jstor=2373050 | mr=0199191  | year=1966 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=88 | pages=129–136 | doi=10.2307/2373050 | issue=1|zbl=0142.18602}}
* {{서적 인용 | last=Barth | first=Wolf P. | 공저자=Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven | title=Compact Complex Surfaces | url=https://archive.org/details/compactcomplexsu0000unse | publisher= Springer | 기타=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3 | isbn=978-3-540-00832-3 | mr=2030225  | year=2004}}
* {{저널 인용 | last=Durfee | first=Alan H. | title=Fifteen characterizations of rational double points and simple critical points | doi=10.5169/seals-50375 | mr=543555  | year=1979 | journal={{lang|fr|L’Enseignement Mathématique}} | issn=0013-8584 | volume=25 | issue=1–2 | pages=131–163|zbl=0418.14020 }}
* {{저널 인용|first=Miles |last=Reid|url=http://www.warwick.ac.uk/~masda/surf/more/DuVal.pdf |title=The du Val singularities ''A''<sub>''n''</sub>, ''D''<sub>''n''</sub>, ''E''<sub>6</sub>,  ''E''<sub>7</sub>, ''E''<sub>8</sub>}}
* {{저널 인용|title=Du Val Singularities|first=Igor|last=Burban|url=http://www.math.uni-bonn.de/people/burban/singul.pdf|확인날짜=2013-04-16|보존url=https://web.archive.org/web/20120220061045/http://www.math.uni-bonn.de/people/burban/singul.pdf#|보존날짜=2012-02-20|url-status=dead}}

[[분류:곡면]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:특이점 이론]]
[[분류:대수곡면]]