동형 사상 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''동형 사상'''(同型寫像, {{문화어|동형넘기기}}, {{llang|en|isomorphism}})은 서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 [[사상 (수학)|사상]]이다. 두 대상 사이에 동형 사상이 존재하는 경우 서로 '''동형'''(同型, {{llang|en|isomorphic}})이라고 하며, 서로 동형인 두 대상은 구조가 같아 구조로서 구별할 수 없다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 사상을 '''동형 사상'''이라고 한다.
* [[역사상]]이 존재한다. 즉, <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>, <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>인 사상 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다.
* [[단사 사상]]이자 [[분할 전사 사상]]이다.
* [[전사 사상]]이자 [[분할 단사 사상]]이다.
* [[단사 사상]]이자 [[극단 전사 사상]]이다.
* [[전사 사상]]이자 [[극단 단사 사상]]이다.
두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면, 서로 '''동형'''이라고 한다. 시작과 끝이 같은 동형 사상(즉, [[자기 사상]]인 동형 사상)을 '''[[자기 동형 사상]]'''이라고 한다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 범주를 '''균형 범주'''(均衡範疇, {{llang|en|balanced category}})라고 한다.
* 모든 [[전사 사상|전사]] [[단사 사상]]이 동형 사상이다.
* 모든 [[단사 사상]]이 [[극단 단사 사상]]이다.
* 모든 [[전사 사상]]이 [[극단 전사 사상]]이다.
일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.

== 성질 ==
서로 동형인 것은 [[동치 관계]]를 이룬다. 특히, [[항등 사상]]이 동형 사상이므로, 모든 대상은 스스로에게 동형이다.

[[대수 구조 다양체]]의 [[구체적 범주]]의 사상에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 동형 사상이다.
* [[전단사 함수]]이다.
즉, [[대수 구조 다양체]]에서, 동형 사상은 [[전단사 함수]]인 [[준동형]]이다.

모든 [[아벨 범주]]와 모든 [[토포스]]는 균형 범주이다.

== 예 ==
여러 범주에서, 동형 사상들은 특별한 이름이 붙는다.
* [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서, 동형 사상은 [[전단사 함수]]이다.
* [[대수 구조 다양체]]의 범주(군, 환, 가군 등)에서, 동형 사상은 [[전단사 함수]]인 [[준동형]]이다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서, 동형 사상은 [[위상동형사상|위상 동형 사상]]이다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[호모토피류]]들의 범주 <math>\operatorname{hTop}</math>에서, 동형 사상은 [[호모토피 동치]]이다.
* [[매끄러운 다양체]]의 범주에서, 동형 사상은 [[미분동형사상|미분 동형 사상]]이다.

[[준군]]에서는 정의에 따라 모든 사상이 동형 사상이다. 특히, [[군 (수학)|군]]을 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 모든 사상은 동형 사상이다.

[[모노이드]]를 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 동형 사상들은 [[가역원]]들이다.

=== 균형 범주의 예 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주는 균형 범주가 아니다. 이 범주에서, 전사 단사 사상은 [[전단사 함수]]인 [[연속 함수]]인데, 이는 [[위상동형사상|위상 동형 사상]]보다 더 약한 조건이다. 그러나 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 범주는 균형 범주이다.

[[군 (수학)|군]]의 범주는 균형 범주이다.

[[환 (수학)|환]]의 범주는 균형 범주가 아니다. 예를 들어, 포함 사상 <math>\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q</math>는 [[전사 사상]]이며 [[단사 사상]]이지만, 동형 사상이 아니다.

=== 갈루아 이론 ===
임의의 [[갈루아 확대]] <math>M/K</math> 및 갈루아 부분 확대 <math>L/K</math>에 대하여, 함수
:<math>\operatorname{Gal}(M/K)/\operatorname{Gal}(M/L)\to\operatorname{Gal}(L/K)</math>
:<math>\sigma\mapsto\sigma|_L</math>
는 [[위상군]]의 동형 사상이다.

임의의 [[체의 확대]] <math>M/K</math> 및 갈루아 부분 확대 <math>L/K</math> 및 부분 확대 <math>L'/K</math>에 대하여, <math>LL'/L'</math> 및 <math>L/L\cap L'</math>은 갈루아 확대이며, 함수
:<math>\operatorname{Gal}(LL'/L')\to\operatorname{Gal}(L/L\cap L')</math>
:<math>\sigma\mapsto\sigma|_L</math>
는 [[위상군]]의 동형 사상이다.

임의의 [[체의 확대]] <math>M/K</math> 및 갈루아 부분 확대 <math>L/K</math> 및 <math>L'/K</math>에 대하여, <math>LL'/K</math> 역시 갈루아 확대이며, 함수
:<math>\operatorname{Gal}(LL'/K)\to\operatorname{Gal}(L/K)\times\operatorname{Gal}(L'/K)</math>
:<math>\sigma\mapsto(\sigma|_L,\sigma|_{L'})</math>
는 [[위상군]]의 [[매장 (수학)|매장]]이다. 만약 <math>L\cap L'=K</math>라면, 이는 [[위상군]]의 동형 사상이다.

== 같이 보기 ==
* [[동형 정리]]
* [[자연 동형]]
* [[범주의 동치]]

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Isomorphism}}
* {{매스월드|id=Isomorphism|title=Isomorphism}}
* {{매스월드|id=Isomorphic|title=Isomorphic}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/isomorphism|제목=Isomorphism|웹사이트=nLab|확인날짜=2015-02-20|보존url=https://web.archive.org/web/20150219210308/http://ncatlab.org/nlab/show/isomorphism|보존날짜=2015-02-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/balanced+category|제목=Balanced category|웹사이트=nLab|확인날짜=2015-02-20|보존url=https://web.archive.org/web/20150220072545/http://ncatlab.org/nlab/show/balanced+category|보존날짜=2015-02-20|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:범주론]]