동차 공간 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''동차 공간'''(同次空間, {{llang|en|homogeneous space}})이란 그 [[자기 동형군]]이 [[추이적 작용|추이적으로 작용]]하는 [[공간]]이다. 여기서 ‘공간’이란 다루는 수학적 구조에 따라 다른데, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]], [[매끄러운 다양체]], 또는 [[리만 기하학|리만 다양체]] 등이 될 수 있다.

[[에를랑겐 프로그램]]의 관점에서, 동차 공간은 “모든 점이 평등한” 공간이다. 사실, 19세기 중반에 발표된 [[리만 기하학]] 이전의 모든 기하학적 공간은 동차 공간이었다. 예를 들어 [[유클리드 공간]], [[아핀 공간]], [[사영 공간]] 등은 전부 각자의 [[대칭군 (기하)|대칭군]]에 대해 동차 공간이다. [[쌍곡 공간]]을 비롯해 일정한 [[곡률]]을 갖는 [[비유클리드 기하학]]적 공간들도 마찬가지이다.

== 정의 ==
유한 곱을 갖는 [[구체적 범주]] <math>\mathcal C \to \operatorname{Set}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 속의 [[군 대상]]의 개념을 정의할 수 있다. <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''동차 공간'''이라고 한다.
* 어떤 [[군 대상]] <math>G</math>에 대하여, 어떤 [[군의 작용|작용]] <math>G\times X\to X</math>이 [[추이적 작용]]을 이룬다. (이 작용은 <math>\mathcal C</math>의 사상을 이루어야 한다.)

여기서, <math>G</math>가 <math>\mathcal C</math>의 [[군 대상]]이어야 한다는 조건은 생략될 수 없다. (예를 들어, 모든 연결 다양체 <math>M</math>은 미분 동형 사상군 <math>\operatorname{Diffeo}(M)</math>의 추이적 작용을 갖지만, 대부분의 연결 다양체는 동차 다양체가 아니다.)

범주 <math>\mathcal C</math>는 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>, [[다양체]]의 범주 <math>\operatorname{Mfd}</math>, 또는 [[매끄러운 다양체]]의 범주 <math>\operatorname{Diff}</math> 등으로 잡을 수 있다.

추이적 작용의 존재에 의하여, 동차 공간에서 임의의 두 점들은 대칭에 의하여 서로 동치이며, 다시 말해 모든 점들이 서로 “평등하게” 된다.

=== 잉여류 공간으로서의 표현 ===
[[위상군]] <math>G</math>가 동차 공간 <math>M</math>에 추이적으로 작용한다고 하자. 그렇다면 임의의 점 <math>x\in M</math>이 주어졌을 때, 그 [[안정자군]] <math>H=G_x</math>에 대하여 <math>M=G/H</math>임을 보일 수 있다. 즉, 원점이 주어지면 동차 공간을 [[잉여류]] 공간 <math>G/H</math>로 생각할 수 있다. 그러나 원점의 선택은 유일하지 않으므로, 동차 공간은 “원점을 잊은” 잉여류 공간이다.

마찬가지로, <math>\operatorname{Diff}</math>에서의 동차 공간(즉, 동차 다양체)은 마찬가지로 [[리 군]] <math>G</math>와 그 닫힌 부분군 <math>H</math>의 잉여류 공간 <math>G/H</math>로 여길 수 있다.

== 성질 ==
[[매끄러운 다양체]]의 범주 <math>\operatorname{Diff}</math> 속의 동차 공간 <math>G/H</math>를 생각하자. 그 [[리 대수]]가
:<math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>
라고 하자. 만약
:<math>\mathfrak g=\mathfrak h+\mathfrak m</math>
:<math>\operatorname{Ad}(H)\mathfrak h\subseteq\mathfrak m</math>
인 [[실수 벡터 공간]] <math>\mathfrak m\subseteq\mathfrak g</math>이 존재한다면, <math>G/H</math>를 '''가약 동차 공간'''(可約同次空間, {{llang|en|reductive homogeneous space}})라고 하자.<ref name="Koda">{{서적 인용 | 장url=http://webbuild.knu.ac.kr/~yjsuh/proceedings/13th/[10]09Prowork_Koda.pdf | 이름=Takashi | 성=Koda | 제목=Proceedings of the Thirteenth International Workshop on Differential Geometry and Related Fields | 날짜=2009 | 쪽=121—144 | 장=An introduction to the geometry of homogeneous spaces | url=http://webbuild.knu.ac.kr/~yjsuh/13th%20Pro-contens.htm | 출판사=경북대학교 출판부 | editor1-first=Young Jin | editor1-last=Suh | editor2-first=Jürgen | editor2-last=Berndt | editor3-first=Young Suk | editor3-last=Choi | 언어=en | 확인날짜=2017-11-27 | 보존url=https://web.archive.org/web/20171201035000/http://webbuild.knu.ac.kr/~yjsuh/13th%20Pro-contens.htm | 보존날짜=2017-12-01 | url-status=dead }}</ref>{{rp|136, Definition 15}}<ref name="Suhr">{{서적 인용 | 제목=The geometry of reductive homogeneous spaces | 이름=Rune | 성=Suhr | 기타=석사 학위 논문 (지도 교수 Sigmundur Gudmundsson) | 날짜=2013 | url=http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/students/Rune-Suhr-MSc.pdf | 출판사=[[룬드 대학교]] | 언어=en | 확인날짜=2017-11-27 | 보존url=https://web.archive.org/web/20171201043420/http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/students/Rune-Suhr-MSc.pdf | 보존날짜=2017-12-01 | url-status=dead }}</ref>{{rp|Definition 1.40}}

이 경우, 다음과 같은 두 집합 사이에 표준적인 [[일대일 대응]]이 존재한다.<ref name="Koda"/>{{rp|137, §2.2}}
* <math>G/H</math> 위의 <math>G</math>-불변 [[리만 계량]] <math>\eta(-,-)</math> (즉, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>\mathsf L_g^*\eta = \eta</math>
* <math>\mathfrak m</math> 위의 <math>\operatorname{Ad}(H)</math>-불변 [[내적 공간|내적]] <math>\langle-,-\rangle</math>
이 [[일대일 대응]]은
:<math>\mathrm T_1(G/H) \cong \mathfrak m</math>
으로부터 유도된다.

또한, 다음과 같은 두 집합 사이에 표준적인 [[일대일 대응]]이 존재한다.<ref name="Suhr"/>{{rp|Theorem 1.41}}
* <math>G/H</math> 위의 <math>G</math>-불변 [[아핀 접속]] <math>\nabla</math>
* <math>\mathfrak m</math> 위의 쌍선형 사상 <math>B \colon \mathfrak m \otimes \mathfrak m \to \mathfrak m</math> 가운데, <math>\operatorname{Ad}(H)</math>에 대하여 불변인 것
이 [[일대일 대응]]은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>B(X,Y) = \nabla_Y X</math>

이러한 쌍선형 사상 가운데, <math>B = 0</math>에 대응하는 아핀 접속을 <math>G/H</math>의 '''표준 접속'''({{llang|en|canonical connection}})이라고 한다.<ref name="Suhr"/>{{rp|Proposition 1.42}}<ref name="Koda"/>{{rp|Definition 18}} 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 [[아핀 접속]] <math>\nabla</math>이다.
* <math>\nabla</math>에 의한 [[평행 이동]]은 <math>G</math>의 작용에 대한 밂과 같다. 즉, 임의의 벡터 <math>y\in\mathrm T_{gH}(G/H)</math> 및 <math>x\in\mathfrak g</math>에 대하여,
*:<math>\operatorname{Ad}(\exp(tx))y = \Gamma(t\mapsto \exp tx)_{gH}^{\exp(tx)g} (y) \qquad t\in\mathbb R</math>
여기서 <math>\exp\colon\mathfrak g\to G</math>는 <math>G</math>의 [[리 지수 사상]]이며, 우변의 <math>\Gamma</math>는 지수 사상으로 정의되는 곡선에 대한 벡터의 [[평행 이동]]이다.

표준 접속의 [[비틀림 텐서]] <Math>\operatorname{Tors}(\nabla)_{ij}{}^k</math> 및 [[리만 곡률 텐서]] <math>\operatorname{Riem}(\nabla)_{ij}{}^k{}_l</math>를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립한다.
:<math>0 = \nabla_l \operatorname{Tors}(\nabla)_{ij}{}^k</math>
:<math>0 = \nabla_m \operatorname{Riem}(\nabla)_{ij}{}^k{}_l</math>

== 예 ==
=== 집합 ===
집합의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서, 모든 집합은 (스스로 위의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 작용에 의하여) 자명하게 동차 공간이다.

=== 동차 다양체 ===
[[매끄러운 다양체]]의 범주에서, 동차 다양체들은 다음이 있다.

{| class="wikitable"
|-
! 이름 !! 기호 !! [[자기 동형군]] <math>G</math> !! [[안정자군]] <math>H</math>
|-
| [[초구]] || <math>S^n</math> || [[직교군|O(''n''+1)]] || [[직교군|O(''n'')]]
|-
| [[아핀 공간]] || <math>\mathbb R^n</math> || [[유클리드 군]] E(''n'') || O(''n'')
|-
| [[쌍곡 공간]] || <math>H^n</math> || O(1,''n'') || O(''n'')
|-
| [[더 시터르 공간]] || <math>dS_n</math> || O(1,''n'') || O(1,''n''&minus;1)
|-
| [[민코프스키 공간]] || <math>\mathbb R^{1,n-1}</math> || [[푸앵카레 군]] E(1,''n''&minus;1) || [[로런츠 군]] O(1,''n''&minus;1)
|-
| [[반 더 시터르 공간]] || <math>AdS_n</math> || O(2,n-1) || O(1,n)
|-
| 복소수 [[사영 공간]] || <math>\mathbb CP^n</math> || [[유니터리 군|U(''n''+1)]] || U(''n'') × U(1)
|-
| [[그라스만 다양체]] || Gr(''r'',''n'') || O(''n'') || O(''r'') × O(''n''&minus;''r'')
|}

== 같이 보기 ==
* [[에를랑겐 프로그램]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Homogeneous space}}
* {{eom|title=Riemannian space, homogeneous}}
* {{eom|title=Symplectic homogeneous space}}
* {{eom|title=Homogeneous complex manifold}}
* {{eom|title=Reductive space}}
* {{nlab|id=homogeneous space|title=Homogeneous space}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리만 기하학]]