동차다항식 문서 원본 보기

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[[대수학]]에서 '''동차다항식'''(同次多項式, {{lang|en|homogeneous polynomial}})은 모든 계수가 영이 아닌 항의 [[다항식의 차수|차수]]가 같은 [[다변수 다항식]]이다. 예를 들어, <math>x, y</math>에 대한 다항식 <math>x^3+3x^2y+2xy^2-y^3</math>은 각 항의 차수가 [[지수]]의 합에서 3으로 같으므로 동차다항식이다.

동차다항식의 [[근 (수학)|근]]의 집합은 [[사영 공간]]에서 [[사영 대수다양체]]를 이룬다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]](또는 [[체 (수학)|체]]) <math>R</math> 위의 <math>n</math>변수 다항식

:<math>f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i \in I \subset \N^n} a_ix_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}</math>

이 서로 동치인 두 성질

* <math>a_i \ne 0</math>이면 <math>\sum i = k</math>
* 임의의 <math>\lambda \in R</math>에 대해 <math>f(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots,\lambda x_n) = \lambda^kf(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>

(<math>k</math>는 음이 아닌 정수)중 하나를 만족한다면, <math>k</math>차 '''동차다항식'''라고 한다.

== 성질 ==
* 임의의 다항식은 동차다항식의 합으로 표현된다. 영이 아닌 다항식의 표현은 <math>f = f_0 + \cdots + f_{\deg f}</math>와 같다. <math>f_k</math>를 <math>f</math>의 <math>k</math>차 '''동차성분'''(同次成分, {{lang|en|homogeneous component}})이라고 한다.
* 동차다항식의 비자명 인수는 모두 동차다항식이다.

== 준동차다항식 ==
만약 음이 아닌 정수 <math>k, p_1, p_2, \dots, p_n</math>가 존재하여, <math>f</math>가 모든 <math>\lambda \in R</math>에 대하여
:<math>\lambda^kf(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(\lambda^{p_1}x_1,\lambda^{p_2}x_2,\dots,\lambda^{p_n}x_n)</math>
의 꼴이라면, <math>f</math>를 '''준동차다항식'''({{lang|en|quasihomogeneous polynomial}})이라 한다. 동차다항식은 준동차다항식이 <math>p_i = 1</math>인 경우이다.
== 같이 보기 ==
* [[힐베르트 다항식]]
* [[극성화와 반환]]
* [[주표상]]

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:동차다항식]]
[[분류:다중선형대수학]]
[[분류:대수기하학]]