동역학계 문서 원본 보기

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[[파일:Lorenz attractor yb.svg|섬네일|200px|오른쪽|[[로렌즈 끌개]](Lorenz attractor)]]
'''동적계'''(動的系, dynamical system) 또는 '''동역학계'''(動力學系)는 [[수학]]의 한 분야로서, 매개변수에 따른 변화 과정으로 정의된다.
현대적 의미에서의 동적계 연구는 미국의 수학자 [[조지 데이비드 버코프]]에서 시작된다.
오늘날 동적계 연구는 주로 수학 분야에서 다뤄지고 있으나 실제로 [[수론]], [[추계학]], [[동역학]], [[생물학]]등 광범위하게 적용되고 있다.

일반적으로 [[시공간]] 변화에 따라 [[이산수학|이산]]과 [[연속체]]로 구별된다. 즉, 이산 동적계(Discrete Dynamical System)와 연속 동적계(Continuum Dynamical System)로 나뉘어 연구되고 있다. 일반적으로 [[미분방정식]]에서 연속 동적계를 다루고 있으며, [[위상수학]]에서 이산, 연속 동적계를 모두 다루고 있다. 특히, 이 두가지를 혼합하여 연구하는 경우 ''연속-이산 동적계'' 또는 ''혼합 동적계''(Hybrid Dynamical System)로 표현되고 있다.

== 정의 ==
* 동적계는 일반적으로 공집합이 아닌 시공간 또는 상태공간 집합 <math>X</math>에서, <math>T = \N_0, \Z, \R^+_0</math> 또는 <math>\R</math>로 부터의 튜플 <math>(T,X,f)</math>이고, <math>X</math>에서 <math>T</math>의 연산 <math>f\colon\, T \times X \to X</math>에 대해 모든 상태 <math>x \in X</math> 그리고 모든 시공간 <math>t_1,t_2 \in T</math>에서 다음이 성립된다:
# <math>f(0,x) = x</math> &nbsp;&nbsp;(''동일성'')
# <math>f(t_2, f(t_1,x)) = f(t_2+t_1, x)</math> &nbsp;&nbsp;(''반집합성'')

* <math>T = \N_0</math> 또는 <math>T = \Z</math> 일 때, <math>(T,X,f)</math>는 시간이산적 또는 이산적, 그리고 <math>T = \R^+_0</math> 또는 <math>T = \R</math> 이면, <math>(T,X,f)</math>을 시간연속적 또는 연속적이라 한다. 그밖에 <math>T = \Z</math> 또는 <math>T = \R</math>이면, <math>(T,X,f)</math>는 실시간적 또는 가역적이라 한다.

* 임의의 <math>x \in X</math>에 대해 자취 <math>\beta_x\colon\, T \to X,\, t \mapsto \beta_x(t) := f(t,x)</math>는 <math>x = \beta_x(0)</math>의 움직임, 그리고 집합 <math>O(x) := \{\beta_x(t) \mid t \in T\}</math>는 <math>x</math>의 궤도라 한다. 그리고 <math>(T,X,f)</math>이 가역적일 때, <math>x</math>의 양의 반궤도는 <math>O^+(x) := \{\beta_x(t) \mid t \in T\cap\R^+_0\}</math>이고, <math>O^-(x) := \{\beta_x(t) \mid -t \in T\cap\R^+_0\}</math>는 음의 반궤도가 된다.

* 상태 공간 <math>X</math> 이 공집합이 아닌 [[거리 공간]]이고, 각 시점 <math>t \in T</math>이 <math>\varphi_t\colon\, X \to X,\, x \mapsto \varphi_t(x) := f(t,x)</math>을 갖는 변환 <math>\varphi_t\colon\, X \to X,\, x \mapsto \varphi_t(x) := f(t,x)</math>이 연속일 때, 이산 동적계 <math>(T,X,f)</math>는 연속이다. 상태 공간 <math>X</math> 이 [[거리 공간]]이고, 각 시점을 갖는 변환 및 각 상태의 움직임이 연속일 때, 연속 동적계 <math>(T,X,f)</math>는 연속이다. 이산 동적계와 연속 동적계의 연속조건을 모두 만족할 때, 혼합 동적계라한다.

== 응용 ==
=== 물리학 ===
해밀토니안 계, 미분가능한 유체에서 적용된다.

=== 생물학 ===
질병의 전염성을 다루는 SIR-Model(Susceptible-Infected-Recovered-Model)에서 적용된다.

== 같이 보기 ==
* [[인지 모델]]
* [[진동]]
* [[샤르코우스키 정리]]
* [[시스템 다이내믹스]]
* [[체계 이론]]
== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* G.D. Birkhoff: ''Dynamical Systems.'' Rev. Ed.. AMS, Providence, RI, 1966.
* J. Guckenheimer, Ph. Holmes: ''Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields.'' Corr. 3rd printing. Springer, New York 1990. {{ISBN|3-540-90819-6}}
* Diederich Hinrichsen, Anthony J. Pritchard: ''Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness.'' Springer, 2005.
* Wolfgang Metzler: ''Nichtlineare Dynamik und Chaos'', B.G.&nbsp;Teubner, Stuttgart–Leipzig 1998. {{ISBN|3-519-02391-1}}
* R.S. Sreenivas, B.H. Krogh: ''ON Condition/Event Systems with Discrete State Realization.'' Discrete Event Dynamic Systems: Theory and Application 1. 1991. p. 209ff.
* J. de Vries: ''Elements of Topological Dynamics.'' Springer, 1993.
{{시스템과학}}
{{전거 통제}}

[[분류:동역학계| ]]
[[분류:체계 이론]]