도달 불가능한 기수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''도달 불가능한 기수'''(到達不可能한基數, {{llang|en|inaccessible cardinal}})는 그보다 작은 기수의 덧셈·곱셈·거듭제곱으로 나타낼 수 없는 [[기수 (수학)|기수]]이다. [[큰 기수]]의 하나이다.

== 정의 ==
=== 약하게 도달 불가능한 기수 ===
모든 무한 기수는 [[정칙 기수]]이거나 [[극한 기수]]이다. 구체적으로, 만약 <math>\alpha</math>가 [[따름 순서수]]라면 <math>\aleph_\alpha</math>는 [[정칙 기수]]이며, 반대로 만약 <math>\alpha</math>가 [[극한 순서수]]라면 <math>\aleph_\alpha</math>는 [[극한 기수]]이다. 그런데 후자는 [[필요 충분 조건]]이지만 전자는 그렇지 않다. 즉, [[정칙 기수]] 조건과 [[극한 기수]] 조건은 서로 배타적이지 않다. [[정칙 기수]]이자 [[극한 기수]]인 [[기수 (수학)|기수]]를 '''약하게 도달 불가능한 기수'''(弱하게到達不可能한基數, {{llang|en|weakly inaccessible cardinal}})라고 한다. (일부 문헌에서는 [[비가산]] 기수라는 조건을 추가한다.)<ref name="Kanamori">{{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | 저자링크=가나모리 아키히로 | 날짜=2003 | 출판사=Springer | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}</ref>{{rp|16}}<ref name="Jech">{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|33}}

=== 도달 불가능한 기수 ===
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 기수를 '''도달 불가능한 기수'''라고 한다.
* [[정칙 기수]]인 [[강극한 기수]]이다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|18}}<ref name="Jech"/>{{rp|58, Chapter 5}}
* <math>V_\kappa</math>는 그로텐디크 전체이다.
* <math>\kappa=0</math>이거나, <math>\kappa=\aleph_0</math>이거나, 아니면 <math>\langle V_\kappa,\in\rangle</math>는 [[선택 공리]]를 추가한 [[2차 논리]] [[체르멜로-프렝켈 집합론]] <math>\mathsf{ZFC}^2</math>의 [[추이적 모형]]을 이룬다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|19, Theorem 1.3}}<ref name="Zermelo"/>
* <math>\kappa=0</math>이거나, <math>\kappa=\aleph_0</math>이거나, 아니면 임의의 부분 집합 <math>U\subseteq V_\kappa</math>에 대하여, <math>\langle V_\alpha,\in,U\cap V_\alpha\rangle</math>가 <math>\langle V_\kappa,\in,U\rangle</math>의 [[기본 매장|기본 부분 구조]]가 되는 [[순서수]] <math>\alpha<\kappa</math>가 존재한다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|57, Proposition 6.2(a)}} (여기서 <math>U</math> 또는 <math>U\cap V_\alpha</math>는 해석 <math>R(x)\iff x\in U</math>을 갖는 1항 관계 <math>R</math>를 뜻한다.)
(일부 문헌에서는 <math>\kappa</math>가 [[비가산]] 기수라는 조건을 추가한다.)

=== 그로텐디크 전체 ===
[[집합]] <math>\mathcal U</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 '''그로텐디크 전체'''(Grothendieck全體, {{llang|en|Grothendieck universe}})라고 한다.
* <math>\mathcal U=V_\kappa</math>가 되는 도달 불가능한 기수 <math>\kappa</math>가 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=On Grothendieck universes|저널=Compositio Mathematica|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1969__21_1_1_0|성=Williams|이름=N. H.|zbl=0175.00701|mr=244035|권=21|호=1|쪽=1–3|날짜=1969|issn=0010-437X|언어=en|확인날짜=2016-07-20|보존url=https://web.archive.org/web/20160815200804/http://www.numdam.org/item?id=CM_1969__21_1_1_0|보존날짜=2016-08-15|url-status=dead}}</ref>
* <math>\mathcal U</math>는 [[추이적 집합]]이며 다음 세 조건을 만족시킨다.
** 임의의 <math>x,y\in\mathcal U</math>에 대하여, <math>\{x,y\}\in\mathcal U</math>이다.
** 임의의 <math>x\in\mathcal U</math>에 대하여, <math>\mathcal P(x)\in\mathcal U</math>이다.
** 임의의 <math>I\in\mathcal U</math> 및 <math>x\colon I\to\mathcal U</math>에 대하여, <math>\bigcup_{i\in I}x_i\in\mathcal U</math>이다.

[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]을 가정하자. 그렇다면 다음 두 명제가 서로 [[동치]]이다.
* 도달 불가능한 기수의 [[고유 모임]]이 존재한다. 즉, 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\lambda>\kappa</math>인 도달 불가능한 기수 <math>\lambda</math>가 존재한다.
* 임의의 집합 <math>S</math>에 대하여, <math>S\in\mathcal U</math>인 그로텐디크 전체 <math>\mathcal U</math>가 존재한다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 강극한 기수는 [[극한 기수]]이므로, 모든 도달 불가능한 기수는 약하게 도달 불가능한 기수다. [[일반화 연속체 가설]]이 성립하는 경우, 반대로 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 도달 불가능한 기수이다. 즉, 기수의 성질에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:[[초콤팩트 기수]] ⇒ [[강콤팩트 기수]] ⇒ [[가측 기수]] ⇒ [[약콤팩트 기수]] ⇒ [[말로 기수]] ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 약하게 도달 불가능한 기수 ⇒ [[정칙 기수]] ⇒ [[기수 (수학)|기수]] ⇒ [[순서수]]

=== 모형 이론적 성질 ===
[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZFC)에서, 도달 불가능한 기수 <math>\kappa</math>에 대해 [[폰 노이만 전체]]의 단계 <math>V_\kappa</math>는 [[그로텐디크 전체]]를 이루며 ZFC의 [[구조 (논리학)|모형]]이다. 또한, [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZF)에서, 약하게 도달 불가능한 기수 <math>\kappa</math>에 대해 [[구성 가능 전체]]의 부분 집합 <math>L_\kappa</math>는 ZFC의 모형이다. 따라서 ZF + "약하게 도달 불가능한 기수의 존재"는 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다. 즉, [[불완전성 정리]]에 의하여 만약 ZF가 일관적이라면 ZFC에서는 약하게 도달 불가능한 기수의 존재를 보일 수 없다.
:<math>\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})\implies\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+\operatorname{wInacc}=\varnothing)</math>
(여기서 <math>\operatorname{wInacc}</math>은 약하게 도달 불가능한 기수들의 모임이다.)

<math>\kappa\ge\aleph_0</math>일 때, 그로텐디크 전체 <math>V_\kappa</math>는 [[선택 공리]]를 추가한 ([[1차 논리]]) [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[추이적 모형]]을 이룬다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|18, Proposition 1.2(b)}} (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

=== 강제법 ===
만약 하나의 비가산 도달 불가능한 기수가 존재한다면,
:<math>\mathsf{ZF}+\mathsf{DC}+\Sigma_{\text{Leb}}=\mathcal P(\mathbb R)</math>
가 무모순적임을 보일 수 있다.<ref name="Solovay">{{저널 인용 | last1=Solovay | first1=Robert M. | author1-link=로버트 솔로베이 | title=A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable | jstor=1970696 | doi=10.2307/1970696 | mr=0265151 | 날짜=1970-07 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=92 | pages=1–56 | zbl=0207.00905 |언어=en}}</ref><ref name="Kanamori"/>{{rp|132, Theorem 11.1}} 여기서
* <math>\mathsf{ZF}</math>는 ([[선택 공리]]를 포함하지 않는) [[체르멜로-프렝켈 집합론]]이다.
* <math>\mathsf{DC}</math>는 [[의존적 선택 공리]]이다.
* <math>\Sigma_{\text{Leb}}=\mathcal P(\mathbb R)</math>는 모든 [[실수]] 집합이 [[르베그 가측 집합]]이라는 명제이다.
구체적으로, 위 공리들이 성립하는 '''솔로베이 모형'''({{llang|en|Solovay model}})을 구성할 수 있다.

사실, 다음 이론들의 비모순성이 일치한다.<ref name="Shelah">{{저널 인용 | last1=Shelah | first1=Saharon | author1-link=사하론 셸라흐 | title=Can you take Solovay’s inaccessible away? | doi=10.1007/BF02760522 | mr=768264 | 날짜=1984 | journal=Israel Journal of Mathematics | issn=0021-2172 | volume=48 | issue=1 | pages=1–47 | zbl=0596.03055 | 언어=en}}</ref>{{rp|18, Conclusion 5.1A}}<ref name="Kanamori"/>{{rp|136, Theorem 11.6}} (즉, 이들 가운데 하나가 모순적이라면 모두 모순적이며, 반대로 하나가 비모순적이라면 모두 비모순적이다.)
* <math>\mathsf{ZFC}</math> + 하나의 비가산 도달 불가능한 기수가 존재한다.
* <math>\mathsf{ZFC}</math> + 모든 <math>\boldsymbol\Sigma^1_3</math> 실수 집합들은 [[르베그 가측 집합]]이다.
* <math>\mathsf{ZF}</math> + <math>\mathsf{DC}</math> + 모든 실수 집합들은 [[르베그 가측 집합]]이다.

== 예 ==
만약 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZFC)이 일관적이라면, ZFC에서 존재를 증명할 수 있는 모든 비가산 기수는 (약하게) 도달 불가능하지 않다.

[[가산 집합|가산]] 도달 불가능한 기수는 0과 <math>\aleph_0</math> 밖에 없다. 1은 [[정칙 기수]]이지만 [[따름 순서수]]이므로 약하게 도달 불가능한 기수가 아니다. 즉, 가산 그로텐디크 전체는 다음 두 개 밖에 없다.
* [[공집합]] <math>V_0=\varnothing</math>
* [[계승적 유한 집합]]의 모임 <math>V_\omega</math>
만약 ZFC가 일관적이라면, ZFC에서 그 존재를 증명할 수 있는 그로텐디크 전체는 이 두 개 밖에 없다.

== 역사 ==
약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 1908년에 [[펠릭스 하우스도르프]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Hausdorff | first=Felix | authorlink=펠릭스 하우스도르프  | title=Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen | doi=10.1007/BF01451165 | 날짜=1908 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=65 | issue=4 | pages=435–505 | jfm=39.0099.01 | 언어=de}}</ref><ref name="Kanamori"/>{{rp|16}}

도달 불가능한 기수의 개념은 1930년에 [[바츠와프 시에르핀스키]]와 [[알프레트 타르스키]]<ref>{{저널 인용
 | last=Sierpiński | first=Wacław |저자링크= 바츠와프 시에르핀스키
 | 저자링크2=알프레트 타르스키|이름2=Alfred|성2=Tarski
 | title=Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles
 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15129.pdf
 | 날짜=1930
 | journal=Fundamenta Mathematicae
 | issn=0016-2736
 | volume=15
 | pages=292–300 | jfm = 56.0084.01 | 언어=fr
}}</ref><ref name="Jech"/>{{rp|61, Chapter 5}} 및 [[에른스트 체르멜로]]<ref name="Zermelo">{{저널 인용
 | last=Zermelo
 | first=Ernst
 | authorlink=에른스트 체르멜로
 | title= Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre
 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf
 | 날짜=1930
 | journal=Fundamenta Mathematicae
 | issn=0016-2736
 | volume=16
 | pages=29–47 | jfm= 56.0082.02 | 언어=de
}}</ref>{{rp|33}}<ref>{{서적 인용|장=18. Zermelo’s conception of set theory and reflection principles|이름=William Walker|성=Tait|제목=The philosophy of mathematics today|url=https://global.oup.com/academic/product/the-philosophy-of-mathematics-today-9780198236542|출판사=Clarendon Press|날짜=1998-11-05|editor-first=Matthias|editor-last=Schirn|쪽=469–484|zbl=0916.03003|isbn=978-019823654-2|언어=en}}</ref>{{rp|470}}<ref name="Kanamori"/>{{rp|20}}가 도입하였다. 체르멜로는 도달 불가능한 기수를 "극한수"({{llang|de|Grenzzahl|그렌츠찰}} = {{llang|de|[[:wiktionary:ko:Grenze|Grenze]]|그렌체}}(극한) + {{llang|de|[[:wiktionary:ko:Zahl|Zahl]]|찰}}(수))라고 일컬었다. 체르멜로는 이 논문에서 [[2차 논리]] ZFC의 [[추이적 모형]]은 도달 불가능한 기수 <math>\kappa</math>에 대하여 <math>V_\kappa</math>의 꼴이라는 것을 증명하였다. 이후 1938년에 [[알프레트 타르스키]]는 도달 불가능한 기수의 존재를 [[집합론]]의 [[공리]]로 제시하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Über unerreichbare Kardinalzahlen|이름=Alfred|성=Tarski|저자링크=알프레트 타르스키|저널=Fundamenta Mathematicae|날짜=1938|권=30|호=1|쪽=68–89|issn=0016-2736|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm30/fm30113.pdf|zbl=0018.34702|jfm=64.0033.04|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Maddy|이름=Penelope|날짜=1988-06|제목=Believing the axioms I|저널=Journal of Symbolic Logic|권=53|호=2|쪽=481–511|jstor=2274520|issn=0022-4812|zbl=0652.03033|mr=0947855|doi=10.2307/2274520|언어=en}}</ref>{{rp|501, §III}}<ref name="Kanamori"/>{{rp|20–21}}

1950년대까지는 "도달 불가능한 기수"라는 용어는 약하게 도달 불가능한 기수를 일컬었고, 그보다 더 강한 개념은 "강하게 도달 불가능한 기수"({{llang|en|strongly inaccessible cardinal}})라고 일컬어졌다. 그러나 1950년대부터 "도달 불가능한 기수"는 더 강한 개념을 뜻하게 되었다.

1960년대에 [[알렉산더 그로텐디크]]는 그로텐디크 전체의 개념을 [[범주론]]의 [[집합론]]적 문제를 해결하기 위해 도입하였다.<ref>{{서적 인용
 |이름            = Nicolas
 |성             = Bourbaki
 |authorlink    = 니콜라 부르바키
 |날짜            = 1972
 |장             = Appendice: Univers
 |제목            = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1963–64. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4). Tome 1: Théorie des topos (exposés I à IV)
 |총서            = Lecture notes in mathematics
 |권             = 269
 |editor1-first = M.
 |editor1-last  = Artin
 |editor1-link  = 마이클 아틴
 |editor2-link  = 알렉산더 그로텐디크
 |editor2-first = A.
 |editor2-last  = Grothendieck
 |editor3-first = J. L.
 |editor3-last  = Verdier
 |editor3-link  = 장루이 베르디에
 |출판사           = Springer-Verlag
 |언어            = fr
 |쪽             = 185&ndash;217
 |장url          = http://library.msri.org/books/sga/sga/4-1/4-1t_185.html
 |access-date   = 2016-07-22
 |archive-date  = 2016-08-09
 |archive-url   = https://web.archive.org/web/20160809100234/http://library.msri.org/books/sga/sga/4-1/4-1t_185.html
 |url-status    = 
}}</ref> 그로텐디크는 그로텐디크 전체들의 모임이 [[고유 모임]]임을 가정하였으나, 이후 [[손더스 매클레인]]은 대부분의 경우 하나의 비가산 그로텐디크 전체만을 가정하는 것이 족함을 지적하였다.<ref>{{서적 인용|장=One universe as a foundation for category theory|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|제목=Reports of the Midwest Category Seminar III|날짜=1969|isbn= 978-3-540-04625-7 |총서=Lecture Notes in Mathematics|권=106|issn=0075-8434|doi=10.1007/BFb0059147|출판사=Springer-Verlag|쪽=192–200|editor1-first=Saunders|editor1-last=Mac Lane|editor1-link=손더스 매클레인|zbl=0211.32202|언어=en}}</ref>

1970년에 [[로버트 솔로베이]]는 도달 불가능한 기수가 존재한다면, 모든 실수 집합이 [[르베그 가측 집합]]이 되는 (그리고 [[선택 공리]]가 [[의존적 선택 공리]]로 약화되는) [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 모형이 존재한다는 것을 증명하였다.<ref name="Solovay"/> 반대로, 1984년에 [[사하론 셸라흐]]는 솔로베이의 모형에서 도달 불가능한 기수가 꼭 필요하다는 사실을 증명하였다.<ref name="Shelah"/> 이로서 도달 불가능한 기수는 [[모형 이론]]에서 재주목받게 되었다.

[[쿠르트 괴델]]은 도달 불가능한 기수의 존재에 대하여 다음과 같이 긍정적으로 평하였다.
{{인용문2|[…] [[집합론]]의 공리계는 닫혀 있지 않다. 오히려 공리계의 기반이 되는 [[집합]]의 개념 자체로부터, 점점 더 거듭된 ‘〜의 집합’ 연산의 존재에 대한 새로운 공리들을 유추할 수 있다. […] 이러한 강한 ‘무한 공리’들 가운데 가장 간단한 것은 도달 불가능한 (또는 강하게 도달 불가능한) [[비가산]] 기수가 존재한다는 것이다. […] 이러한 공리들로부터 명확히 유추할 수 있는 것은 오늘날 알려진 집합론의 공리계는 불완전하며, 알려진 공리들을 자연스럽게 확장하는 새 공리들로 임의적이지 않게 보충할 수 있다는 것이다.<br>
{{lang|en|[…] the axioms of set theory by no means form a system closed in itself, but, quite on the contrary, the very concept of set on which they are based suggests their extension by new axioms which assert the existence of still further iterations of the operation “set of.” […] The simplest of these strong “axioms of infinity” asserts the existence of inaccessible numbers (and of numbers inaccessible in the stronger sense) <math>>\aleph_0</math>. […] these axioms show clearly, not only that the axiomatic system of set theory as known today is incomplete, but also that it can be supplemented without arbitrariness by new axioms which are only the natural continuation of the series of those set up so far.}}|<ref>{{저널 인용|제목=What is Cantor’s continuum problem?|이름=Kurt|성=Gödel|저자링크=쿠르트 괴델|저널=The American Mathematical Monthly|권=54|호=9|날짜=1947-11|쪽=515-525|jstor=2304666|doi=10.2307/2304666|zbl=0038.03003|issn=0002-9890|언어=en}}</ref>{{rp|520}}}}

마찬가지로, 토마시 예흐({{llang|cs|Tomáš J. Jech}}, 1944~)는 도달 불가능한 기수에 대하여 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|어떻게 말하자면, 도달 불가능한 기수와 그보다 작은 기수의 관계는 <math>\aleph_0</math>와 유한 기수의 관계와 같다.<br>
{{lang|en|Thus we can say that in a sense an inaccessible cardinal is to smaller cardinals what <math>\aleph_0</math> is to finite cardinals.}}
|<ref name="Jech"/>{{rp|58, Chapter 5}}
}}

== 응용 ==
[[범주론]]에서, 도달 불가능한 기수와 그로텐디크 전체의 개념은 "큰" 범주의 집합론적인 문제를 피하기 위하여 쓰인다.<ref>{{저널 인용|제목=Set theory for category theory|이름=Michael A.|성=Shulman|날짜=2008|arxiv=0810.1279|bibcode=2008arXiv0810.1279S|언어=en}}
</ref>{{rp|§8, §10}} 범주론에서 등장하는 여러 범주들 ([[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>, [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>, [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> 등)은 [[고유 모임]]의 크기를 갖는데, 이 때문에 이들을 대상으로 자유롭게 추가 연산을 하지 못한다. 이 경우, 어떤 그로텐디크 전체 <math>\mathcal U</math>를 잡은 뒤, <math>\operatorname{Set}_{\mathcal U}</math>를 <math>\mathcal U</math> 속의 집합들의 범주, <math>\operatorname{Grp}_{\mathcal U}</math>를 <math>\mathcal U</math> 속의 군들의 범주 따위로 정의하자. 이 범주들은 집합을 이루지만, 원래 범주들과 거의 같은 성질들을 갖는다.

== 같이 보기 ==
* [[폰 노이만 전체]]
* [[구성 가능 전체]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cardinal number}}
* {{eom|title=Universe}}
* {{매스월드|id=InaccessibleCardinal|title=Inaccessible cardinal}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Inaccessible|제목=Inaccessible cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2014-12-24|보존url=https://web.archive.org/web/20141224121842/http://cantorsattic.info/Inaccessible|보존날짜=2014-12-24|url-status=dead}}
* {{nlab|id=inaccessible cardinal|title=Inaccessible cardinal}}
* {{nlab|id=Grothendieck universe}}
* {{nlab|id=universe enlargement|title=Universe enlargement}}
* {{nlab|id=dream mathematics|title=Dream mathematics}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Strongly_Inaccessible_Cardinal|제목=Definition: strongly inaccessible cardinal|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Strongly_Inaccessible_Cardinal }}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Weakly_Inaccessible_Cardinal|제목=Definition: weakly inaccessible cardinal|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Weakly_Inaccessible_Cardinal }}
* {{웹 인용|url=http://therisingsea.org/notes/FoundationsForCategoryTheory.pdf|제목=Foundations for category theory|이름=Daniel|성=Murfet|날짜=2006-10-05|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/universe_enlargement.html|제목=Universe enlargement|웹사이트=The ''n''-Category Café|날짜=2010-11-23|이름=Michael A.|성=Shulman|언어=en|확인날짜=2016-07-22|보존url=https://web.archive.org/web/20150906064324/https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/universe_enlargement.html|보존날짜=2015-09-06|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2012/12/universe_polymorphism_and_typi.html|제목=Universe polymorphism and typical ambiguity|웹사이트=The ''n''-Category Café|날짜=2012-12-09|이름=Michael A.|성=Shulman|언어=en|확인날짜=2016-07-22|보존url=https://web.archive.org/web/20160528093735/https://golem.ph.utexas.edu/category/2012/12/universe_polymorphism_and_typi.html|보존날짜=2016-05-28|url-status=dead}}

{{집합론}}

[[분류:큰 기수]]