데카르트 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Descartes Circles.svg|오른쪽|섬네일|데카르트 원]]
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'''데카르트 정리'''는 [[르네 데카르트]]의 이름을 따 명명된 정리이다. 이 정리는 각 두 [[원 (기하학)|원]]끼리 접하는 세 원의 쌍이 주어졌을 때, 이 세 원에 모두 접하는 다른 원(데카르트 원)들을 찾을 수 있게 해 준다. 이 내용은 기원전 3세기의 수학자 [[페르가의 아폴로니오스|아폴로니우스]]의 저서인 《접선에서》에 들어 있다고 하지만, 이는 현대에 전하지 않는다.

== 공식화 ==
만약 주어진 세 원의 [[반지름]]을 <math>a, b, c</math>라 하면, 접하는 원의 반지름을 <math>d</math>라 할 때,
: <math>\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )^2= 2\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2} \right )</math>
가 성립하는데 이는 <math>\frac{1}{d}</math>에 관한 [[이차방정식]]이므로, 이를 풀면 두 개의 접원의 반지름을 구할 수 있다. 이 정리의 특수한 경우로서, 만약 세 원 중 하나가 [[직선]]으로 대치되면 이것은 반지름이 무한대(즉 곡률이 0)인 원으로 볼 수 있으므로 이에 대하여,
: <math>\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{d} \right )^2= 2\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{d^2} \right )</math>
가 성립하며, 세 원 중 둘이 직선이라면, 마찬가지 방식으로
: <math>\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{d} \right )^2= 2 \left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{d^2} \right )</math>
가 성립된다.
== 같이 보기 ==
* [[원 안에 원 채우기]]
* [[오일러의 네 제곱수 항등식]]

[[분류:유클리드 평면기하학]]
[[분류:원에 대한 정리]]
[[분류:해석기하학]]
[[분류:원 채우기]]