데카르트 부호 법칙 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, '''데카르트 부호 법칙'''(Descartes符號法則, {{llang|en|Descartes’ rule of signs}})은 실수 계수 [[다항식]]의 양의 실수 근의 수가 내림차순 (또는 오름차순)으로 나열된 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수를 넘지 않는다는 정리이다.

== 정의 ==
0이 아닌 실수 계수 [[다항식]]
:<math>p(x)=a_0x^{d_0}+a_1x^{d_1}+\cdots+a_nx^{d_n}\in\mathbb R[x]</math>
:<math>a_i\in\mathbb R</math>
:<math>a_i\ne 0</math>
:<math>d_i\in\{0,1,2,\dots\}</math>
:<math>d_0<d_1<\cdots<d_n</math>
:<math>n\in\{0,1,2,\dots\}</math>
에 대하여, <math>v(p)</math>가
:<math>a_ia_{i+1}<0</math>
인 <math>i\in\{0,1,\dots,n-1\}</math>의 수라고 하자.

'''데카르트 부호 법칙'''에 따르면, 임의의 0이 아닌 실수 계수 다항식 <math>0\ne p(x)\in\mathbb R[x]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>p</math>의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근은 <math>v(p)</math>개이거나 그보다 적다. 또한, <math>v(p)</math>에서 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다.
* <math>p</math>의 (중복도를 감안한) 음의 실수 근은 <math>v(p(-x))</math>개이거나 그보다 적다. 또한, <math>v(p(-x))</math>에서 (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수를 뺀 차는 (음이 아닌) 짝수이다.
{{증명|각주=<ref name="Wang">{{저널 인용
|성1=Wang
|이름1=Xiaoshen
|제목=A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=111
|호=6
|쪽=525–526
|날짜=2004
|issn=0002-9890
|doi=10.1080/00029890.2004.11920108
}}</ref>}}
0이 아닌 실수 계수 다항식 <math>p\in\mathbb R[x]</math>에 대하여, <math>z(p)</math>가 <math>p</math>의 양의 실수 근의 수라고 하자. 그렇다면 <math>p</math>의 음의 실수 근의 수는 <math>z(p(-x))</math>이다. 따라서 첫 번째 명제를 증명하면 충분하다. <math>p(x)/x^{d_0}</math>의 양의 실수 근의 수와 0이 아닌 계수의 부호가 변화하는 횟수는 모두 <math>p</math>와 일치한다. 따라서 이 증명에서 <math>d_0=0</math>이라고 가정하여도 무방하다.

<math>p</math>의 양의 실수 근은 <math>p</math>의 그래프와 양의 x축의 교점이다. <math>p</math>의 그래프는 중복도가 홀수인 근에서 x축을 가로지르며, 중복도가 짝수인 근에서는 가로지르지 않는다. 따라서, 만약 <math>p</math>의 그래프가 양의 x축을 홀수 번 가로지른다면, <math>z(p)</math>는 홀수이며, 만약 짝수 번 가로지른다면 <math>z(p)</math>는 짝수이다. 이에 따라, 만약 <math>a_0a_n<0</math>이라면,
:<math>p(0)<0</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty</math>
이거나
:<math>p(0)>0</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty</math>
이므로, <math>p</math>의 그래프는 양의 x축을 홀수 번 가로지르며, 따라서 <math>z(p)</math>는 홀수이다. 마찬가지로, 만약 <math>a_0a_n>0</math>이라면, <math>p</math>의 그래프는 양의 x축을 짝수 번 가로지르므로, <math>z(p)</math>는 짝수이다.

만약 <math>p</math>가 서로 다른 <math>k</math>개의 양의 실수 근
:<math>x_1<x_2<\cdots<x_k</math>
을 가지며, 각 <math>i</math>번째 양의 실수 근 <math>x_i</math>의 중복도가 <math>m_i</math>라면, <math>x_i</math>의 미분 <math>p'</math>의 근으로서의 중복도는 최소 <math>m_i-1</math>이다. 또한, [[롤의 정리]]에 따라 각 <math>k-1</math>개의 구간 <math>(x_i,x_{i+1})</math> 속에도 <math>p'</math>의 근이 최소 하나씩 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.
:<math>z(p')\ge(m_1-1)+(m_2-1)+\cdots+(m_k-1)+(k-1)=m_1+\cdots+m_k-1=z(p)-1</math>

이제, <math>n</math>에 대하여 [[수학적 귀납법]]을 사용하자. 만약 <math>n=0</math>이라면,
:<math>z(p)=v(p)=0</math>
이므로 자명하게 성립한다.

이제, <math>n-1</math>에 대하여 정리가 성립한다고 가정하고 <math>n</math>에 대하여 성립함을 증명하자. 만약 <math>a_0a_1<0</math>이라면,
:<math>v(p')=v(p)-1</math>
:<math>z(p')\equiv z(p)-1\pmod 2</math>
이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라
:<math>z(p')\le v(p')</math>
:<math>z(p')\equiv v(p')\pmod 2</math>
이다. 따라서
:<math>z(p)\le z(p')+1\le v(p')+1\le v(p)</math>
:<math>z(p)\equiv z(p')+1\equiv v(p')+1=v(p)\pmod 2</math>
이다.

만약 <math>a_0a_1>0</math>이라면,
:<math>v(p')=v(p)</math>
:<math>z(p')\equiv z(p)\pmod 2</math>
이며, 수학적 귀납법의 가정에 따라
:<math>z(p')\le v(p')</math>
:<math>z(p')\equiv v(p')\pmod 2</math>
이므로,
:<math>z(p)\le z(p')+1\le v(p')+1=v(p)+1</math>
:<math>z(p)\equiv z(p')\equiv v(p')=v(p)\pmod 2</math>
이다. 위 합동식에 따라 <math>z(p)\ne v(p)+1</math>이므로 결국 <math>z(p)\le v(p)</math>이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
다항식
:<math>p(x)=ax^5+bx+c\in\mathbb R[x]</math>
:<math>a,b,c\in\mathbb R</math>
:<math>a\ne 0</math>
을 생각하자. 0이 아닌 항이 최대 3개이므로, 부호는 최대 2번 변화할 수 있다. 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식은 (중복도를 감안하였을 때) 2개의 양의 실수 근을 갖거나, 양의 실수 근을 갖지 않는다. 음의 실수 근 역시 마찬가지다. [[중간값 정리]]에 따라 1개 이상의 실수 근을 갖는다. 만약 <math>c\ne 0</math>일 경우, 0은 근이 아니므로 이 실수 근은 양의 실수이거나 음의 실수이며, 따라서 실수 근의 수는 2 또는 4이다. [[대수학의 기본 정리]]에 따라 이 다항식은 5개의 복소수 근을 가지므로, 허수 근의 수는 3 또는 1이다.

=== 등호가 성립하지 않는 경우 ===
다항식
:<math>p(x)=x^6-x^4+x^2-3x+5\in\mathbb R[x]</math>
을 생각하자. 계수의 부호가 총 4번 변화하므로, 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식의 (중복도를 감안한) 양의 실수 근의 수는 0 또는 2 또는 4이다. 또한,
:<math>p(-x)=x^6-x^4+x^2+3x+5</math>
의 계수의 부호는 2번 변화하므로, (중복도를 감안한) 음의 실수 근의 수는 0 또는 2이다. 하지만 사실 이 다항식은 실수 근을 갖지 않는다.

=== 등호가 성립하는 경우 ===
다른 한편, 임의의
:<math>n,d_0,d_1,\dots,d_n\in\{0,1,2,\dots\}</math>
:<math>d_0<d_1<\dots<d_n</math>
에 대하여,
:<math>z(p)=v(p)</math>
:<math>z(p(-x))=v(p(-x))</math>
인 다항식
:<math>p(x)=a_0x^{d_0}+a_1x^{d_1}+\cdots+a_nx^{d_n}\in\mathbb R[x]</math>
:<math>a_i\in\mathbb R</math>
:<math>a_i\ne 0</math>
을 구성할 수 있다.<ref name="Lagarias">{{저널 인용
|성1=Lagarias
|이름1=Jeffrey C.
|성2=Richardson
|이름2=Thomas J.
|제목=Multivariate descartes rule of signs and sturmfels’s challenge problem
|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_summer-1997_19_3/page/n10
|언어=en
|저널=The Mathematical Intelligencer
|권=19
|호=3
|쪽=9–15
|날짜=1997
|issn=0343-6993
|doi=10.1007/BF03025343
}}</ref>

예를 들어,
:<math>p(x)=x^2-2x+1</math>
라고 할 때
:<math>z(p)=v(p)=2</math>
:<math>z(p(-x))=v(p(-x))=0</math>
이다.

== 역사 ==
1637년에 [[르네 데카르트]]가 증명 없이 기술하였다. 1728년에 야노시 언드라시 셰그네르({{llang|hu|János András Segner}})가 처음 증명하였으며, 이후 1756년에 다른 방법으로 재증명하였다.<ref name="Komornik">{{저널 인용
|성1=Komornik
|이름1=Vilmos
|제목=Another Short Proof of Descartes's Rule of Signs
|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2006-11_113_9/page/n54
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=113
|호=9
|쪽=829–830
|날짜=2006
|issn=0002-9890
|doi=10.1080/00029890.2006.11920371
}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용
|url=https://www.scienceall.com/%EB%8D%B0%EC%B9%B4%EB%A5%B4%ED%8A%B8%EC%9D%98-%EB%B6%80%ED%98%B8%EB%B2%95%EC%B9%99descartes-law-of-signs-2/
|제목=데카르트의 부호법칙(Descartes' law of signs)
|웹사이트=사이언스올
|날짜=2010
|확인날짜=2020-11-13
|archive-date=2020-11-15
|archive-url=https://web.archive.org/web/20201115014112/https://www.scienceall.com/%EB%8D%B0%EC%B9%B4%EB%A5%B4%ED%8A%B8%EC%9D%98-%EB%B6%80%ED%98%B8%EB%B2%95%EC%B9%99descartes-law-of-signs-2/
|url-status=
}}
* {{매스월드|id=DescartesSignRule|제목=Descartes’ sign rule}}
* {{플래닛매스|urlname=DescartesRuleOfSigns|제목=Descartes’ rule of signs}}
* {{웹 인용
|url=http://www.cut-the-knot.org/fta/ROS2.shtml
|성=Brodie
|이름=Scott E.
|제목=Descartes’ rule of signs
|웹사이트=Cut the Knot
|날짜=1999-01-01
}}

[[분류:다항식에 대한 정리]]