데카르트 닫힌 범주 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''데카르트 닫힌 범주'''(Descartes닫힌範疇, {{llang|en|Cartesian closed category}}, 약자 CCC)는 사상 집합을 대상으로 간주할 수 있어, 정의역이 [[곱 (범주론)|곱 대상]]인 사상을, 사상 집합을 [[공역]]으로 갖는 [[사상 (수학)|사상]]으로 치환할 수 있는 [[범주 (수학)|범주]]이다.

== 정의 ==
=== 지수 대상 ===
[[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math>에서, 두 대상 <math>Y, Z\in\mathcal C</math>의 '''지수 대상'''({{llang|en|exponential object}}) <math>(Z^Y\in\mathcal C,\operatorname{eval}\colon Z^Y\otimes Y\to Z)</math>은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>g\colon X\otimes Y\to Z</math>에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 <math>\lambda g\colon X\to Z^Y</math>이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
X\otimes Y\\
{\scriptstyle\lambda g\otimes \operatorname{id}_Y}\downarrow&\searrow\scriptstyle g\\
Z^Y\otimes Y&\xrightarrow[\operatorname{eval}]{}&Z
\end{matrix}
</math>

=== 데카르트 닫힌 범주 ===
[[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 모노이드 범주를 '''닫힌 모노이드 범주'''({{llang|en|closed monoidal category}})라고 한다.
* 임의의 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여, 지수 대상 <math>Y^X</math>가 존재한다.
* 모든 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여 다음과 같은 [[수반 함자]]가 존재한다.
*: <math>(-\otimes X)\dashv(-)^X</math>

[[곱 (범주론)|곱]] <math>\times</math>에 대한 닫힌 모노이드 범주를 '''데카르트 닫힌 범주'''라고 한다.

=== 국소 데카르트 닫힌 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 위의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 두 [[조각 범주]] 사이에 자연스러운 함자
:<math>f_!\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y</math>
:<math>f_!\colon g\mapsto f\circ g</math>
가 존재한다. 만약 <math>\mathcal C</math>가 [[유한 완비 범주]]라면 밑 변환({{llang|en|base change}}) 함자
:<math>f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X</math>
:<math>f^*\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_X\colon A\times_YX\to X)</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]] <math>f_!</math>가 존재한다. <math>f_!</math> 함자를 '''의존합'''(依存合, {{llang|en|dependent sum}})이라고 부른다.

[[유한 완비 범주]] <math>\mathcal C</math>에서 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[유한 완비 범주]]를 '''국소 데카르트 닫힌 범주'''({{llang|en|locally Cartesian closed category}})라고 한다.
* 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, [[조각 범주]] <math>\mathcal C/X</math>는 데카르트 닫힌 범주이다.
* 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, [[조각 범주]] 사이의 [[함자 (수학)|함자]] <math>f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X</math>는 또한 [[오른쪽 수반 함자]] <math>f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y</math>를 갖는다.
[[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>에 대한 [[조각 범주]] <math>\mathcal C/1</math>은 <math>\mathcal C</math>와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 존재하는 [[오른쪽 수반 함자]] <math>f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y</math>는 '''의존곱'''(依存-, {{llang|en|dependent product}})이라고 한다. 대략, 사상 <math>\pi \colon E\to X</math>이 주어졌을 때 이를 <math>X</math> 위의 "다발"로 해석하고, "밑공간" <math>X</math> 위의 <math>Y</math>-점에 대하여 그 "올" <math>E_x</math>을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 <math>E\to X</math>의 "[[단면 (올다발)|단면]]"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, [[집합]]의 범주나 다른 [[토포스]] 속에서 성립한다.

== 예 ==
=== 데카르트 닫힌 범주 ===
데카르트 닫힌 범주의 예는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 이름 !! 대상 !! 사상 !! 곱 !! 지수 대상
|-
| <math>\operatorname{Set}</math> || [[집합]] || [[함수]] || [[곱집합]] <math>X\times Y</math> || 함수의 집합 <math>Y^X=\hom(X,Y)</math>
|-
| <math>\operatorname{FinSet}</math> || [[유한 집합]] || 유한 집합 사이의 함수 || [[곱집합]] || 함수의 집합 <math>Y^X=\hom(X,Y)</math>
|-
| <math>\operatorname{Set}^G</math> (<math>G</math>는 하나의 대상을 갖는 범주로 여긴 [[군 (수학)|군]]) || <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]을 갖는 집합 || <math>G</math>의 작용과 호환되는 함수 || (자연스러운 곱 작용을 갖춘) 곱집합 <math>X\times Y</math> || <math>G</math>의 작용과 호환되는 함수의 집합 <math>Y^X=\hom(X,Y)</math>. (<math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>(g\cdot f)(x)=g\cdot(f(g^{-1}\cdot x)</math>)
|-
| <math>\operatorname{Set}^{\mathcal C}</math> (<math>\mathcal C</math>는 작은 범주) || [[함자 (수학)|함자]] <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math> || [[자연 변환]] || 공역에서의 곱 <math>F\times G\colon(C\in\mathcal C)\mapsto F(C)\times G(C)</math> || <math>F,G\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math> 및 <math>C\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>G^F(C)</math>는 [[자연 변환]] <math>(C\times-)\times F\implies G</math>의 집합
|-
| [[조각 범주]] <math>\operatorname{Set}/A</math> (<math>A</math>는 집합) || 함수 <math>X\to A</math> || <math>f\colon X\to A</math>, <math>g\in Y\to A</math>에 대하여 <math>\hom(f,g)=\{h\colon x=g\circ h\}</math> ||  <math>f\colon X\to A</math> 및 <math>g\in Y\to A</math>에 대하여, [[당김 (범주론)|당김]] <math>X\times_AY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}</math> || <math>f\colon X\to A</math> 및 <math>g\in Y\to A</math>에 대하여,
<math>\{(a,h)\colon a\in A,h\colon f^{-1}(a)\to g^{-1}(a)\}</math>
|-
| <math>\operatorname{Cat}</math> || [[작은 범주]] || [[함자 (수학)|함자]] || [[곱 범주]] (대상·사상이 각각 대상·사상의 [[순서쌍]]) || [[함자 (수학)|함자]] 범주 <math>\mathcal D^{\mathcal C}</math> (대상은 함자, 사상은 [[자연 변환]])
|-
| <math>\operatorname{CGHaus}</math><ref>{{저널 인용|저널=The Michigan Mathematical Journal|권=14|호=2|날짜=1967|쪽=133–152|제목=A convenient category of topological spaces|이름=N. E.|성=Steenrod|저자링크=노먼 스틴로드|doi=10.1307/mmj/1028999711|mr=0210075 |zbl=0145.43002|언어=en}}</ref> || [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]]({{llang|en|compactly generated}}) [[하우스도르프 공간]] || 콤팩트 생성 하우스도르프 공간 사이의 [[연속함수]] || <math>k(X\times_{\operatorname{Top}}Y)</math> (<math>X\times_{\operatorname{Top}}Y</math>는 <math>\operatorname{Top}</math>에서의 [[곱위상]], <math>k(-)</math>는 콤팩트 생성화) || <math>Y^X=k(\mathcal C(X,Y))</math> (<math>\mathcal C(X,Y)</math>는 [[콤팩트-열린집합 위상]]을 갖춘 [[연속함수]]들의 공간)
|}

일반적인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서는 [[곱 (범주론)|곱]] (=[[곱위상]]을 갖춘 곱공간) 및 [[끝 대상]] (=[[한원소 공간]])이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다. (그러나 이 위에는 독특한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.)

=== 닫힌 모노이드 범주 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]의 범주 <math>K\text{-Vect}</math>에서는 [[곱 (범주론)|곱]] (=[[직합]] <math>V\oplus W</math>) 및 끝 대상 (=0차원 벡터 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 존재하지 않는다. 그러나 텐서곱(<math>V\otimes W</math>)에 대해서는 지수 대상과 유사한 대상 (선형 변환의 집합 <math>\mathcal L(V,W)</math>)이 존재한다. 즉, 이는 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

[[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>는 아벨 군의 [[텐서곱]]에 대하여 닫힌 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 두 [[아벨 군]] 사이의 [[군 준동형]]들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 [[아벨 군]]을 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> 위에는 유일한 닫힌 [[대칭 모노이드 범주]] 구조가 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=On a ‘good’ dense class of topological spaces|이름=Maria Cristina|성=Pedicchio|이름2=Sergio|성2=Solimini|doi=10.1016/0022-4049(86)90012-5|저널=Journal of Pure and Applied Algebra|날짜=1986-10|권=42|호=3|쪽=287–295|언어=en}}</ref>{{rp|291, Corollary 2.4}}<ref name="Riehl">{{서적 인용|제목=Categorical homotopy theory|이름=Emily|성=Riehl|url=http://www.math.harvard.edu/~eriehl/cathtpy.pdf|출판사=Cambridge University Press|총서=New Mathematical Monographs|권=24|날짜=2014-05|isbn=978-110704845-4|doi=10.1017/CBO9781107261457|언어=en|확인날짜=2016-02-11|보존url=https://web.archive.org/web/20150501104231/http://www.math.harvard.edu/~eriehl/cathtpy.pdf#|보존날짜=2015-05-01|url-status=dead}}</ref>{{rp|62, Remark 6.1.2}} 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조에서,
* 대칭 [[이항 연산]]은 집합으로서 [[곱집합]]이지만, 이 위에는 [[곱공간]]과 현저히 다른 위상이 주어진다. (이는 지수 대상의 위상으로부터 유일하게 결정된다.)
* 항등원은 [[한원소 공간]]이다.
* 지수 대상은 집합으로서 [[연속 함수]]의 집합이지만, 이 위에는 [[콤팩트-열린 집합 위상]] 대신 [[점별 수렴]] 위상이 주어진다.
이 때문에 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조는 위상수학에서 그리 유용하지 않다.<ref name="Riehl"/>{{rp|62, Remark 6.1.2}}

=== 국소 데카르트 닫힌 범주 ===
모든 [[토포스]]와 모든 [[준토포스]]는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. [[토포스]]의 [[조각 범주]] 역시 [[토포스]]이며, 토포스 <math>\mathcal T</math> 속의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 의하여 [[수반 함자]]
:<math>f_!\dashv f^*\dashv f_*</math>
가 유도된다. 이는 토포스의 [[본질적 기하학적 사상]]을 이룬다.

특히, [[집합]]과 [[함수]]의 [[토포스]] <math>\operatorname{Set}</math>는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 <math>f\colon X\to I</math>에 대한 의존곱은 함수 <math>\pi\colon E\to X</math>를
:<math>\bigsqcup_{i\in I} \Gamma_{X_i}(E_i)</math>
로 대응시킨다. 여기서
:<math>X_i=f^{-1}(i)</math>
:<math>E_i=(f\circ\pi)^{-1}(i)</math>
이며,
:<math>\Gamma_{X_i}(E_i)=\left\{f\in E^{X_i}\colon\forall x\in X_i\colon \pi(f(x))=x\right\}</math>
는 "단면 집합"이다.

특히, 만약 <math>I</math>가 [[끝 대상]]인 [[한원소 집합]]이라면, <math>f\colon X\to\{\bullet\}</math>에 대한 의존곱은 <math>\pi\colon E\to X</math>를 단면 집합 <math>\Gamma_X(E)</math>으로 대응시킨다.

== 같이 보기 ==
* [[커링]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cartesian-closed category}}
* {{eom|title=Closed monoidal category}}
* {{eom|title=Closed category}}
* {{nlab|id=cartesian closed category|title=Cartesian closed category}}
* {{nlab|id=locally cartesian closed category|title=Locally cartesian closed category}}
* {{nlab|idcocartesian closed category|title=Cocartesian closed category}}
* {{nlab|id=dependent product|title=Dependent product}}
* {{nlab|id=closed category|title=Closed category}}
* {{nlab|id=closed monoidal category|title=Closed monoidal category}}
* {{nlab|id=internal hom|title=Internal hom}}
* {{nlab|id=exponential object|title=Exponential object}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/08/01/closed-categories/|제목=Closed categories|날짜=2007-08-01|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/08/23/internal-hom-functors/|제목=Internal hom functors|날짜=2007-08-23|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}

[[분류:범주론]]
[[분류:람다 대수]]