데데킨트 제타 함수 문서 원본 보기

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[[대수적 수론]]에서 '''데데킨트 제타 함수'''(Dedekind ζ 函數, {{llang|en|Dedekind zeta function}})는 임의의 [[대수적 수체]]에 대하여 정의되는 [[유리형 함수]]이다. 이는 [[리만 제타 함수]]의 일반화이다. 구체적으로, 리만 제타 함수는 유리수체에 대한 데데킨트 제타 함수이다.

데데킨트 제타 함수는 [[L-함수]]의 대표적인 예이다.

== 역사 ==
[[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 쓴 수론 교재 《수론 강의》({{llang|de|Vorlesungen über Zahlentheorie}})에서, [[리하르트 데데킨트]]가 쓴 부록에 처음 등장하였다.

== 정의 ==
대수적 수체 <math>K</math>가 주어졌고, 또한 <math>s\in\mathbb C</math>가 <math>\operatorname{Re}(s)>1</math>이라고 하자. 그렇다면 수체 <math>K</math>의 '''데데킨트 제타 함수''' <math>\zeta_K(s)</math>는 다음과 같은 [[디리클레 급수]]로 정의된다.
:<math>\zeta_K (s) = \sum_{\mathfrak a \subseteq \mathcal O_K}^{\mathfrak a\ne0}\frac1{\operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)^s}</math>
여기서
* <math>\textstyle\sum_{\mathfrak a\subseteq\mathcal O_K}^{\mathfrak a\ne0}</math>는 <math>K</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math>의 0이 아닌 [[아이디얼]]들에 대한 합이다.
* <math>\operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)=|\mathcal O_K/\mathfrak a|</math>는 <math>\mathfrak a</math>에 대한 [[몫환]]의 크기이다.
일반적인 <math>s\in\mathbb C</math>에 대해서는 이 함수를 [[해석적 연속]]을 통해 복소 평면 전체로 [[유리형 함수]]로 확장시킬 수 있다. 이 경우, 유일한 극점은 <math>s=1</math>이다. 이 극점에서의 [[유수 (복소해석학)|유수]]는 [[유수 공식]]으로 주어지며, 수체 <math>K</math>의 수론적인 불변량들로 주어진다.

== 성질 ==
데데킨트 제타 함수는 다른 [[L-함수]]와 마찬가지로 오일러 곱(Euler product)과 함수 방정식(functional equation)을 갖는다.

=== 오일러 곱 ===
데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱을 갖는다. 모든 <math>\operatorname{Re}s>1</math>인 <math>s\in\mathbb C</math>에 대하여,
:<math>\zeta_K (s) = \prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K} \frac{1}{1 - \operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak p)^{-s}}</math>
여기서
* <math>\textstyle\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K}</math>는 <math>K</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math>의 [[소 아이디얼]]들에 대한 곱이다.
이는 수체의 [[대수적 정수환]]은 [[데데킨트 정역]]이고, 데데킨트 정역에서는 아이디얼이 [[소 아이디얼]]로의 유일 소인수분해가 성립하기 때문이다.

=== 함수 방정식 ===
데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 갖는다. 감마 인자(gamma factor)를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\Gamma_{\mathbb R}(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)</math>
:<math>\Gamma_{\mathbb C}(s)=2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)</math>
여기서 Γ(''s'')는 [[감마 함수]]이다. 그렇다면 다음을 정의하자.
:<math>\Lambda_K(s)=\left|\Delta_K\right|^{s/2}\Gamma_{\mathbb R}(s)^{r_{\mathbb R}}\Gamma_{\mathbb C}(s)^{r_{\mathbb C}}\zeta_K(s)</math>
여기서
* <math>r_{\mathbb R}</math>는 <math>K</math>의 실 위치(real place)의 수이다.
* <math>r_{\mathbb C}</math>는 <math>K</math>의 복소 위치(complex place)의 수이다.
* <math>\Delta_K</math>는 <math>K</math>의 [[수체의 판별식|판별식]]이다.
그렇다면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다. 모든 <math>s\in\mathbb C</math>에 대하여,
:<math>\Lambda_K(s)=\Lambda_K(1-s)</math>

== 같이 보기 ==
* [[특수함수]]
* [[데데킨트 에타 함수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Narkiewicz
| first=Władysław
| title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers
| url=https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark_s8g5
| edition=3 | at=Chapter 7
| year=2004
| publisher=Springer-Verlag
| location=Berlin
| series=Springer Monographs in Mathematics
| isbn=978-3-540-21902-6
| mr=2078267
| 언어=en
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Zeta-function}}
* {{수학노트|title=데데킨트 제타함수}}
* {{수학노트|title=복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수}}
* {{수학노트|title=이차 수체의 데데킨트 제타함수}}
* {{수학노트|title=원분체의 데데킨트 제타함수}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]