데데킨트 정역 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[가환대수학]]에서 '''데데킨트 정역'''(Dedekind整域, {{llang|en|Dedekind domain}}) 또는 '''데데킨트 환'''(Dedekind環, {{llang|en|Dedekind ring}})은 [[아이디얼]]의 [[소인수 분해]]가 유일한 [[정역]]이다.

== 정의 ==
<math>R</math>가 [[정역]]이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들은 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[정역]]을 '''데데킨트 정역'''이라고 한다.
* 0이 아닌 모든 진 [[아이디얼]]이 [[소 아이디얼]]로 유일하게 인수 분해가 가능하다. 즉, 모든 아이디얼 <math>\mathfrak a\ne\{0\},R</math>에 대하여,
::<math>\prod_{\mathfrak p\in F(\mathfrak a)}\mathfrak p=\mathfrak a</math>
:인 유한 [[중복집합]] <math>F(\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R</math>가 존재하며, 또한 이러한 중복집합은 유일하다.
* <math>R</math>는 [[뇌터 환]]이며, 모든 [[극대 아이디얼]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]는 [[주 아이디얼 정역]]이다.
* <math>R</math>는 [[뇌터 환]]이며, 모든 [[극대 아이디얼]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]는 [[체 (수학)|체]]이거나 [[이산 값매김환]]이다.
* <math>R</math>는 [[뇌터 환]]이며, [[정수적으로 닫힌 정역]]이며, [[크룰 차원]]이 0 또는 1이다.
* 0이 아닌 모든 [[분수 아이디얼]]은 [[가역원]]이다.
* [[뇌터 환]]이며, 프뤼퍼 정역이다.
* [[크룰 정역]]이며, [[크룰 차원]]이 0 또는 1이다.
* [[유전환]]이다.
마지막 조건은 [[대수기하학]]적으로 [[비특이 대수다양체|비특이]] [[아핀 대수다양체|아핀]] [[대수 곡선]]을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

=== 프뤼퍼 정역 ===
[[정역]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[정역]]을 '''프뤼퍼 정역'''({{llang|en|Prüfer domain}})이라고 한다.
* <math>R</math>의 [[영 아이디얼]]이 아닌 모든 유한 생성 [[아이디얼]]은 ([[분수 아이디얼]]로서) [[가역원]]이다.
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak p}</math>는 [[값매김환]]이다.
* 모든 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak m}</math>은 [[값매김환]]이다.
* <math>R</math>의 모든 유한 생성 [[아이디얼]]은 <math>R</math>-[[사영 가군]]이다.
* <math>R</math>의 모든 유한 생성 [[아이디얼]]은 <math>R</math>-[[평탄 가군]]이다.
* <math>R</math>의 [[평탄 가군]]의 모든 부분 가군은 [[평탄 가군]]이다.
* [[반유전환]]이다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[가환환]] ⊋ [[정역]] ⊋ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∪ 데데킨트 정역 ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∩ 데데킨트 정역 = [[주 아이디얼 정역]] ⊋ [[유클리드 정역]] ⊋ [[체 (수학)|체]]
또한, 모든 데데킨트 정역은 [[뇌터 환|뇌터 가환환]]이다.

<math>R</math>가 데데킨트 정역이고, <math>\operatorname{Frac}(R)</math>가 그 [[분수체]]이며, <math>L/\operatorname{Frak}(R)</math>가 그 유한 차원 [[체의 확대|확대]]라 하자. '''[[크룰-아키즈키 정리]]'''에 따르면, <math>R</math>의 <math>L</math> 안에서의 [[정수적 폐포]]는 데데킨트 정역이다.<ref>{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|45, Proposition 8.1}}

[[아이디얼 유군]]은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 데데킨트 정역 <math>R</math>의 경우, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* <math>R</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이다.
* <math>R</math>의 [[아이디얼 유군]]이 [[자명군]]이다.
* <math>R</math>의 [[유수 (수론)|유수]]가 1이다.

데데킨트 정역에서는 [[분수 아이디얼]]에 대해서도 유일 인수 분해가 성립한다. 즉, 임의의 분수 아이디얼은 R의 소 아이디얼들과 그 역 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.

=== 데데킨트 정역에서의 아이디얼 ===
데데킨트 정역에서 모든 0이 아닌 아이디얼은 유일한 소인수 분해를 가지므로, 아이디얼의 포함 관계는 아이디얼의 인자 관계와 일치한다. 즉, 임의의 두 아이디얼 <math>\mathfrak a,\mathfrak b</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak b\ne0</math>이라면 다음이 성립한다.
:<math>\mathfrak a\subseteq\mathfrak b\iff\mathfrak b\mid\mathfrak a</math>
임의의 가환환에서 아이디얼의 인자 관계는 포함 관계를 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

특히, [[체 (수학)|체]]가 아닌 데데킨트 정역에서, 0이 아닌 모든 [[소 아이디얼]]의 개념은 [[극대 아이디얼]]의 개념과 일치한다. 이는 소 아이디얼은 인자 관계에 대한 [[극대 원소]]인데, 반대로 극대 아이디얼은 포함 관계에 대한 [[극대 원소]]이기 때문이다. 이는 [[크룰 차원]]이 1이라는 것과 같다. (체에서는 물론 (0)이 소 아이디얼이자 극대 아이디얼이다.)

== 예 ==
* 모든 [[주 아이디얼 정역]]은 데데킨트 정역이다.
** [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>나, 체 <math>K</math>에 대한 1변수 [[다항식환]] <math>K[x]</math>는 주 아이디얼 정역이므로 데데킨트 정역이다.
** 모든 [[체 (수학)|체]]는 데데킨트 정역이다. 체에서는 0이 아닌 진 아이디얼이 없으므로, 이 경우는 자명한 경우이다.
* 모든 [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]은 데데킨트 정역이다.
** 예를 들어, 허수 [[이차 수체]]의 정수환 <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math>은 데데킨트 정역이지만, <math>6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>이므로 [[유일 인수 분해 정역]]이 아니다.

== 역사 ==
[[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]에서는 일반적으로 [[산술의 기본정리]]가 성립하지 않는다. 즉, [[유일 인수 분해 정역]]이 아니다. 이 사실은 1844년에 [[에른스트 쿠머]]가 특정 [[원분체]]에 대하여 발견하였다. 1847년에 [[에른스트 쿠머]]는 대신 [[대수적 정수환]]의 오늘날 우리가 "[[아이디얼]]"이라고 부르는 대상에 대해서는 유일 인수 분해가 성립함을 보였다.<ref>{{저널 인용|제목= Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren|이름=Ernst|성=Kummer|저자링크=에른스트 쿠머|날짜=1847|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik |권=35|쪽= 327–367|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002146053|doi=10.1515/crll.1847.35.327|언어=de}}</ref> 정수환 <math>\mathbb Z</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 자연수 <math>n</math>과 이에 대응하는 [[주 아이디얼]] <math>(n)</math>의 구분이 없다. 그러나 일반적인 대수적 정수환 <math>\mathcal O_K</math>에서는 주 아이디얼이 아닌 아이디얼이 존재하며, 따라서 기존의 수(=주 아이디얼)로 구성되었던 수 체계에 모든 아이디얼들을 추가하면 다시 유일 소인수 분해가 성립한다. 이러한 관점에서 쿠머는 이러한 대상들을 수의 일반화로 간주하였고, {{llang|de|Idealzahl|이데알찰}}이라고 이름붙였다. 이는 {{llang|de|ideal|이데알}}(이상적인) + {{llang|de|Zahl|찰}}(수)의 합성어이다. 오늘날 사용되는 [[분수 아이디얼]]의 개념도 이와 같이 아이디얼을 수의 일반화로 간주한 관점에서 유래하였다.

이후 [[리하르트 데데킨트]]는 쿠머의 "이데알찰"을 사실 [[대수적 정수환]]의 어떤 부분 집합으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다.<ref>{{서적 인용|이름=Richard|성= Dedekind|저자링크=리하르트 데데킨트|제목=Sur la théorie des nombres entiers algébrique|출판사=Gauthier-Villars|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1877|언어=fr}}</ref> 이는 오늘날의 관점과 같다. 이 때문에 데데킨트는 쿠머의 "이데일찰"을, "찰"(수)을 제거한 {{llang|de|Ideal|이데알}}로 불렀다.

훗날 [[대수적 정수환]]의 개념이 일반적인 추상적 (가환)환으로 일반화되면서, 모든 [[가환환]], 심지어 모든 [[정역]]에서도 아이디얼들의 유일 소인수 분해가 성립하지 않을 수 있다는 것이 밝혀졌다. 이에 따라, 쿠머와 데데킨트가 [[대수적 정수환]]에서 증명한 바와 같이, 아이디얼의 유일 소인수 분해가 존재하는 정역은 데데킨트 정역이라고 불리게 되었다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|제목=Commutative algebra|출판사=Addison-Wesley|날짜=1972|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Dedekind ring}}
* {{매스월드|id=DedekindRing|title=Dedekind ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:인수분해]]