데데킨트-하세 노름 문서 원본 보기

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[[수학]], 특히 [[추상대수학|추상 대수학]] 연구에서 '''데데킨트-하세 노름'''은 [[유클리드 정역]]에 대한 [[유클리드 정역|유클리드 함수]]의 개념을 일반화하는 [[정역]]에 대한 [[함수]]이다.

== 정의 ==
<math>R</math>이 정역이라 하자. <math>g:R\rightarrow \Z_{\geq0}</math>은 <math>R</math>에서 음이 아닌 [[정수]]로 가는 함수이다. ''<math>0_R</math>''로 ''<math>R</math>''의 덧셈 항등식을 나타낸다. 함수 ''<math>g</math>''는 다음 세 가지 조건이 충족되는 경우 <math>R</math>에 대한 데데킨트-하세 노름이라고 한다.

* ''<math>g(a)=0</math>''와 ''<math>a=0_R</math>''는 동치이다.
* ''<math>R</math>''에서 0이 아닌 원소 ''<math>a,b</math>''에 대해 다음 중 하나가 성립한다.
** ''<math>R</math>''에서 ''<math>b|a</math>''.
** ''<math>\exists x,y \in R \; s.t.0<g(xa-yb)<g(b)</math>''.

세 번째 조건은 [[유클리드 정역]] 문서에 정의된 대로 유클리드 함수의 조건(EF1)을 약간 일반화한 것이다. ''x'' 의 값이 항상 1로 취해질 수 있다면 ''<math>g</math>''는 유클리드 함수가 되고 ''<math>R</math>''은 따라서 유클리드 정역이 된다.

== 정역과 주 이데알 정역 ==
데데킨트-하세 노름의 개념은 [[리하르트 데데킨트]]와 나중에 [[헬무트 하세]]에 의해 독립적으로 정의되었다. 그들은 둘 다 그것이 정역을 [[주 아이디얼 정역|주 이데알 정역]]으로 바꾸는 데 필요한 구조의 추가 조건이라는 것을 정확히 알아차렸다. 즉, 정역 ''<math>R</math>''이 데데킨트-하세 노름을 갖는 경우 ''<math>R</math>''이 주 이데알 정역임을 증명했다. 정역이 주 이데알 정역임과 정역이 데데킨트-하세 노름을 가짐이 동치이다.

== 예 ==
''<math>K</math>''를 [[체 (수학)|체]]로 두고 [[다항식환|다항식 환]] ''<math>K[X]</math>''를 고려하자. 0이 아닌 [[다항식]] ''<math>p</math>''를 ''<math>2^{\mathrm{deg}(p)}</math>''에 사상하는 이 영역의 함수 ''<math>g</math>'' (여기서''<math>\mathrm{deg}(p) </math>''는 ''<math>p</math>''의 위수이고 0 다항식을 0에 사상함)는 ''<math>K[X]</math>''에 대한 데데킨트-하세 노름이다. 처음 두 조건은 ''<math>g</math>''의 정의에 의해 간단하게 충족되는 반면, 세 번째 조건은 [[다항식 장제법]]을 사용하여 증명할 수 있다.

== 참조 ==

* R. Sivaramakrishnan, ''Certain number-theoretic episodes in algebra'', [[:en:CRC_Press|CRC Press]], 2006.

== 외부 링크 ==

* {{플래닛매스 레퍼런스|제목=Dedekind–Hasse valuation}}

[[분류:환론]]