덮개 (위상수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''덮개'''({{llang|en|cover, covering}}) 혹은 '''피복'''(被覆)은 [[합집합]]이 전체 집합인 부분 집합들의 [[집합족]]이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 '''덮개'''는 다음 조건을 만족시키는 [[집합족]] <math>\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)</math>이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|164}}
:<math>X=\bigcup\mathcal C=\bigcup_{C\in\mathcal C}C</math>
<math>X</math>의 덮개들의 집합을
:<math>\operatorname{Cover}(X)=\{\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)\colon\bigcup\mathcal C=X\}</math>
로 표기하자.

[[집합]] <math>X</math>의 덮개 <math>\mathcal C</math>의 '''부분 덮개'''({{llang|en|subcover}}) <math>\mathcal D</math>는 <math>\mathcal D\subseteq\mathcal C</math>인 <math>X</math>의 덮개이다.

'''유한 덮개'''는 [[유한 집합]]인 덮개이다. '''가산 덮개'''는 [[가산 집합]]인 덮개이다.

[[집합]] <math>X</math>의 덮개 <math>\mathcal C\in\operatorname{Cover}(X)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''점별 유한 덮개'''(點別有限-, {{llang|en|pointwise finite cover}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{C\in\mathcal C\colon C\ni x\}</math>는 [[유한 집합]]이다.

=== 세분 ===
두 덮개 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal C'</math>가 주어졌을 때, 만약 임의의 <math>C'\in\mathcal C'</math>에 대하여 <math>C'\subseteq C\in\mathcal C</math>가 존재한다면, <math>\mathcal C'</math>을 <math>\mathcal C</math>의 '''세분'''({{llang|en|refinement}}) 이라고 하고,<ref name="Willard"/>{{rp|144, Definition 20.1}} <math>\mathcal C'\lesssim\mathcal C</math>으로 표기한다. 이는 <math>X</math>의 덮개들의 집합 위의 [[원순서]]를 이룬다.

=== 성형 세분 ===
<math>X</math>의 덮개 <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 <math>\mathcal C</math>-'''별'''({{llang|en|star}})은 다음과 같다.<ref name="Arhangelskii"/>{{rp|4, §I.1.1}}
:<math>\operatorname{star}(S,\mathcal C)=\bigcup\{C\in\mathcal C\colon C\cap S\ne\varnothing\}</math>

덮개 <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, <math>\mathcal C</math>의 '''성형 폐포'''({{llang|en|star closure}})
:<math>\mathcal C^\star=\left\{\operatorname{star}(C,\mathcal C)\colon C\in\mathcal C\right\}</math>
를 정의하자. 이 역시 <math>X</math>의 덮개를 이룬다. 두 덮개 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal C'</math>가 주어졌을 때, 만약 <math>\mathcal C'^\star\lesssim\mathcal C</math>라면, <math>\mathcal C'</math>을 <math>\mathcal C</math>의 '''성형 세분'''(星形細分, {{llang|en|star refinement}})이라고 한다.<ref name="Willard"/>{{rp|144, Definition 20.1}}

덮개 <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, <math>\mathcal C</math>의 '''무게 중심 폐포'''({{llang|en|barycentric closure}})
:<math>\mathcal C^{\operatorname{b}}=\left\{\operatorname{star}(\{x\},\mathcal C)\colon x\in X\right\}</math>
를 정의하자. 이 역시 <math>X</math>의 덮개를 이룬다. 두 덮개 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal C'</math>가 주어졌을 때, 만약 <math>\mathcal C'^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C</math>라면, <math>\mathcal C'</math>을 <math>\mathcal C</math>의 '''무게 중심 세분'''(-中心細分, {{llang|en|barycentric refinement}})이라고 한다.<ref name="Willard"/>{{rp|144, Definition 20.1}}

== 성질 ==
=== 함자성 ===
임의의 덮개 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal C'</math>에 대하여,
:<math>\mathcal C\lesssim\mathcal C'</math>
이라면
:<math>\mathcal C^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C'^{\operatorname{b}}</math>
:<math>\mathcal C^\star\lesssim\mathcal C'^\star</math>
이다. 즉, [[원순서 집합]] <math>(\operatorname{Cover}(X),\lesssim)</math>을 [[작은 범주]]로 간주하였을 때,
:<math>^{\operatorname{b}}\colon\operatorname{Cover}(X)\to\operatorname{Cover}(X)</math>
:<math>^\star\colon\operatorname{Cover}(X)\to\operatorname{Cover}(X)</math>
는 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다.

=== 함의 관계 ===
[[집합]] <math>X</math> 위의 덮개 <math>\mathcal C</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\mathcal C\lesssim\mathcal C^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C^\star\lesssim\mathcal C^{\operatorname{b}\operatorname{b}}</math>
따라서, 같은 [[집합]] 위의 두 덮개 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal C'</math>에 대하여,
* 만약 <math>\mathcal C'</math>이 <math>\mathcal C</math>의 부분 덮개라면 <math>\mathcal C'</math>은 <math>\mathcal C</math>의 세분이다.
* 만약 <math>\mathcal C'</math>이 <math>\mathcal C</math>의 성형 세분이라면 <math>\mathcal C'</math>은 <math>\mathcal C</math>의 무게 중심 세분이다.
* 만약 <math>\mathcal C'</math>이 <math>\mathcal C</math>의 무게 중심 세분이라면 <math>\mathcal C'</math>은 <math>\mathcal C</math>의 세분이다.
* 만약 <math>\mathcal C'</math>이 <math>\mathcal C</math>의 무게 중심 세분의 무게 중심 세분이라면 <math>\mathcal C'</math>은 <math>\mathcal C</math>의 성형 세분이다.<ref name="Willard"/>{{rp|152, Problem 20B.1}}<ref name="Arhangelskii"/>{{rp|6, Proposition I.1.4}}
즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:{| style="text-align: center"
| 무게 중심 세분의 무게 중심 세분 || ⇒ || 성형 세분 || ⇒ || 무게 중심 세분 || ⇒ || 세분
|-
| || || || || || || ⇑
|-
| || || || || || || 부분 덮개
|}

=== 반사성 ===
부분 덮개 관계는 [[부분 순서]]를 이룬다. 세분 관계는 일반적으로 [[부분 순서]]가 아니지만 항상 [[원순서]]를 이룬다. 그러나 성형 세분 관계와 무게 중심 세분 관계는 일반적으로 [[반사 관계]]가 아니므로 [[원순서]]가 아니다.

[[집합]] <math>X</math> 위의 임의의 덮개 <math>\mathcal C\in\operatorname{Cover}(X)</math>에 대하여
:<math>\mathcal C\lesssim\mathcal C^\star</math>
:<math>\mathcal C\lesssim\mathcal C^{\operatorname{b}}</math>
이다.

[[집합]] <math>X</math> 위의 덮개 <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 네 조건이 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal C^\star\lesssim\mathcal C</math>이다.
* <math>\mathcal C^\star</math>는 [[서로소 집합|서로소]]이다. 즉, 임의의 <math>C,D\in\mathcal C</math>에 대하여 <math>\operatorname{star}(C,\mathcal C)\ne\operatorname{star}(D,\mathcal C)</math>라면 <math>\operatorname{star}(C,\mathcal C)\cap\operatorname{star}(D,\mathcal C)=\varnothing</math>이다.
* <math>\operatorname{star}(-,\mathcal C)</math>는 [[멱등 함수|멱등 연산]]이다. 즉, 임의의 <math>C\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\operatorname{star}(\operatorname{star}(C,\mathcal C),\mathcal C)=\operatorname{star}(C,\mathcal C)</math>이다.
* <math>\mathcal C\lesssim\mathcal P\lesssim\mathcal C</math>인 [[집합의 분할]] <math>\mathcal P</math>가 존재한다.

[[집합]] <math>X</math> 위의 덮개 <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal C^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C</math>이다.
* 임의의 [[부분 집합]] <math>\mathcal D\subseteq\mathcal C</math>에 대하여, 만약 <math>\bigcap\mathcal D\ne\varnothing</math>이라면, <math>\mathcal D</math>는 [[상계 (수학)|상계]] <math>\mathcal C\ni\bar D\supseteq\bigcup\mathcal D</math>를 갖는다.

=== 유한 집합의 덮개 ===
크기 <math>n</math>의 [[유한 집합]]의 덮개의 수는 다음과 같다. {{OEIS|A371}}
:<math>|\operatorname{Cover}(\{1,2,\dots,n\})|=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom nk2^{2^{n-k}}</math>
이는 항상 [[짝수]]인데, 이는 항상 [[공집합]]을 추가하거나 제거할 수 있기 때문이다.

덮개들의 집합 <math>\operatorname{Cover}(X)</math>은 부분 덮개 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]] <math>(\operatorname{Cover}(X),\subseteq)</math>을 이룬다. 그 [[극소 원소]] 가운데, 크기가 <math>k</math>인 것들의 수는 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|이름=T.|성=Hearne|이름2=C. G.|성2=Wagner|제목=Minimal covers of finite sets|저널=Discrete Mathematics|권=5|날짜=1973|쪽=247-251|doi=10.1016/0012-365X(73)90141-6|issn=0012-365X|언어=en}}</ref>{{rp|248, (3)}}<ref>{{저널 인용|제목=Lewis Carroll and the enumeration of minimal covers|이름=Anthony J.|성=Macula|doi=10.2307/2690571|저널=Mathematics Magazine|issn=0025-570X|jstor=2690571|권=68|호=4|날짜=1995-10|쪽=269–274|언어=en}}</ref> {{OEIS|A35348}}
:<math>
\begin{align}
\left|\{\mathcal C\in \min\left(\operatorname{Cover}(\{1,2,\dots,n\}),\subseteq\right)\colon|\mathcal C|=k\}\right|
&=\sum_{i=k}^{\min\{n,2^k-1\}}\binom{2^k-k-1}{i-k}\frac{i!}{k!}\left\{{n\atop i}\right\}\\
&=\sum_{i=k}^n\binom ni(2^k-k-1)^{n-i}\left\{{i\atop k}\right\}
\end{align}
</math>
여기서 <math>\textstyle\binom nk</math>는 [[이항 계수]]이며, <math>\textstyle\{{n\atop k}\}</math>는 [[제2종 스털링 수]]이다. 그 값들은 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center; empty-cells: hide; table-layout: fixed; width: 100%"
! ''n''╲''k'' || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8
|-
! 1
| 1
|-
! 2
| 1 || 1
|-
! 3
| 1 ||  6 ||  1
|-
! 4
| 1 || 25 || 22 || 1
|-
! 5
| 1 || 90 || 305 ||  65 || 1
|-
! 6
| 1 || 301 || 3410 || 2540 || 171 || 1
|-
! 7
| 1 || 966 || 33621 || 77350 || 17066 || 420 || 1
|-
! 8
| 1 || 3025 || 305382 || 2022951 || 1298346 || 100814 || 988 || 1
|}

== 응용 ==
=== 콤팩트 공간 ===
{{본문|콤팩트 공간}}
{{본문|파라콤팩트 공간}}
[[집합]] <math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 구조를 가질 때, <math>X</math>의 '''열린 덮개'''는 [[열린집합]]만으로 구성된 덮개이다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 열린 덮개 <math>\mathcal U</math>에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>\mathcal U</math>를 '''국소 유한 열린 덮개'''({{llang|en|locally finite open cover}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{U\in\mathcal U\colon V\cap U\ne\varnothing\}</math>가 [[유한 집합]]인 [[근방]] <math>V\ni x</math>가 존재한다.

[[콤팩트 공간|콤팩트성]]에 관련된 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 다양한 개념들을 "모든 열린 덮개는 ~을 갖는다"의 꼴로 정의할 수 있다.
{| class=wikitable
! 개념 !! 정의: 모든 열린 덮개가 ~를 가진다.
|-
| [[콤팩트 공간]] || 유한 부분 덮개 (또는 유한 열린 세분<ref name="Munkres"/>{{rp|253}})
|-
| [[린델뢰프 공간]] || 가산 부분 덮개
|-
| [[파라콤팩트 공간]] || 국소 유한 열린 세분
|-
| [[메조콤팩트 공간]] || 콤팩트 유한(compact finite) 열린 세분
|-
| [[메타콤팩트 공간]] || 점별 유한 열린 세분
|-
| [[직교 콤팩트 공간]] || 내부 보존(interior preserving) 열린 세분
|}

[[하우스도르프 공간]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[파라콤팩트 공간]]이다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 [[열린 덮개|열린]] 성형 세분을 갖는다.<ref name="Willard"/>{{rp|151, Corollary 20.15}}
* 모든 [[열린 덮개]]는 [[열린 덮개|열린]] 무게 중심 세분을 갖는다.<ref name="Willard">{{서적 인용 | last=Willard | first=Stephen | title=General Topology | url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0 | publisher=Addison-Wesley | isbn=978-0-201-08707-9 | mr=0264581 | 날짜=1970|언어=en}}</ref>{{rp|149, Theorem 20.14}}

=== 균등 공간 ===
{{본문|균등 공간}}
[[균등 공간]]의 개념은 성형 세분을 통해 정의할 수 있다.

=== 체흐 코호몰로지 ===
{{본문|체흐 코호몰로지}}
열린 덮개가 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위의, [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)|층]]에 대하여, '''[[체흐 코호몰로지]]'''라는 [[코호몰로지]] 이론을 정의할 수 있다. 만약 열린 덮개가 충분히 섬세하다면, 이는 [[층 코호몰로지]]와 일치한다.

== 예 ==
=== 분할 ===
임의의 [[집합]] <math>X</math>에 대하여, 다음과 같은 두 덮개를 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal C_1=\{X\}</math>
:<math>\mathcal C_2=\{\{x\}\colon x\in X\}</math>
이들은 둘 다 부분 덮개 관계에 대하여 [[극소 원소]]를 이룬다.

보다 일반적으로, <math>X</math>의 [[집합의 분할]]은 항상 덮개를 이루며, 이는 부분 덮개 관계에 대하여 [[극소 원소]]이다.

=== 거리 공간 ===
[[거리 공간]] <math>(X,\operatorname{dist}_X)</math>에서, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 덮개
:<math>\mathcal C_\epsilon(X,d)=\{Y\subseteq X\colon\operatorname{diam}Y\le\epsilon\}</math>
를 정의하자. 여기서
:<math>\operatorname{diam}Y=\sup_{y,y'\in Y}\operatorname{dist}_X(y,y')\in[0,\infty]</math>
는 [[거리 공간]]의 [[지름]]을 뜻한다. 그렇다면, [[삼각 부등식]]에 의하여 다음이 성립한다.<ref name="Arhangelskii">{{서적 인용|제목=General topology III: paracompactness, function spaces, descriptive theory|장=Paracompactness and metrization. The method of covers in the classification of spaces|쪽=1–70|이름=A. V.|성=Arhangel’skii|날짜=1995|doi=10.1007/978-3-662-07413-8_1|isbn=978-3-642-08123-1|총서=     Encyclopaedia of Mathematical Sciences|권=51|issn=0938-0396|translator-first=G. G.|translator-last=Gould|언어=en}}</ref>{{rp|5, Example I.1.1}}
:<math>\mathcal C_\epsilon\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge\epsilon</math>
:<math>\mathcal C_\epsilon^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge2\epsilon</math>
:<math>\mathcal C_\epsilon^\star\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge3\epsilon</math>
이에 대하여 알렉산드르 블라디미로비치 아르한겔스키({{llang|ru|Алекса́ндр Влади́мирович Арха́нгельский}})는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|무게 중심 세분을 도입하는 목적은 [[삼각 부등식]]을 [[집합론]]적인 용어만으로 모방하기 위한 것이다. [※아르한겔스키는 성형 세분을 {{llang|en|strong star refinement}}로 부르며 무게 중심 세분을 {{llang|en|star refinement}}로 부른다.]<br>{{lang|en|The purpose of star refinement is to imitate the triangle inequality in purely set-theoretic terms.}}|<ref name="Arhangelskii"/>{{rp|6}}}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Cover|title=Cover}}
* {{매스월드|id=ProperCover|title=Proper cover}}
* {{매스월드|id=MinimalCover|title=Minimal cover}}
* {{매스월드|id=OpenCover|title=Open cover}}
* {{매스월드|id=Refinement|title=Refinement}}
* {{nlab|id=cover|title=Cover}}
* {{nlab|id=open cover|title=Open cover}}
* {{nlab|id=good open cover|title=Good open cover}}
* {{nlab|id=locally finite cover|title=Locally finite cover}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Cover|제목=Definition: cover|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Subcover|제목=Definition: subcover|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Refinement_of_Cover|제목=Definition: refinement of cover|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Subcover_is_Refinement_of_Cover|제목=Subcover is refinement of cover|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Star_Refinement|제목=Definition: star refinement|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Star_(Topology)|제목=Definition: star (topology)|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:조합론]]