덧셈 역원 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, 어떤 수의 '''덧셈 역원'''(-逆元, {{llang|en|additive inverse}}) 또는 '''반수'''(反數, {{문화어|반대수}}, {{llang|en|opposite number}})는 그 수에 [[덧셈|더했을 때]]  덧셈 항등원(0)이 되는 수이다. [[실수]]의 반수는 원래의 수에서 [[절댓값]]을 그대로 둔 채 [[부호 (수학)|부호]]만을 정반대로 취하여 얻는다. [[양수 (수학)|양수]]의 반수는 [[음수]], 음수의 반수는 양수, 0의 반수는 0이다.

예를 들어, 7의 반수는 -7이며, -3.5의 반수는 3.5이다. 이는 {{nowrap|1=7 + (-7) = 0}}이며 {{nowrap|1=(-3.5) + 3.5 = 0}}이기 때문이다.

[[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 만족시키고 [[항등원]]을 갖춘 [[이항 연산]]은 흔히 덧셈으로 여겨지며, 덧셈 역원은 이러한 이항 연산에 대하여 일반화될 수 있다. 이 경우 보다 일반적인 구조 위의 [[뺄셈]]이나 덧셈 역원에 대한 [[연산|닫힘]] 등의 성질을 다룰 수 있다.

== 정의 ==
덧셈 역원은 임의의 덧셈 [[아벨 군]] <math>(A,0_A,+)</math>의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여 정의할 수 있다. (덧셈이 주어진 [[정수환]], [[유리수체]], [[실수체]], [[복소수체]], [[행렬]] 공간, [[다항식환]], [[함수]] 공간 등은 모두 아벨 군의 예이다.) 이 원소의 '''덧셈 역원'''은 등식
:<math>a+(-a)=0_A</math>
을 만족시키는 원소 <math>-a\in A</math>를 뜻한다. 각 원소의 덧셈 역원은 유일한데, 이는 만약 <math>b,b'\in A</math>가 모두 <math>a</math>의 덧셈 역원이라면,
:<math>b=b+0_A=b+(a+b')=(b+a)+b'=0_A+b'=b'</math>
이 성립하기 때문이다.

== 성질 ==
=== 뺄셈과의 관계 ===
덧셈 아벨 군 <math>A</math> 위의 [[뺄셈]]은 덧셈과 덧셈 역원을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>a-b:=a+(-b)\qquad(a,b\in A)</math>
반대로, 덧셈 역원은 뺄셈에서 피감수가 [[덧셈 항등원]]인 특수한 경우이다.
:<math>-a=0_A-a\qquad(a\in A)</math>

=== 항등식 ===
덧셈 아벨 군 <math>A</math> 위에서, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
* (덧셈의 보존) <math>-(a+b)=-a-b</math>
* ([[대합 (수학)|대합]]) <math>-(-a)=a</math>
* <math>a-(-b)=a+b</math>
만약 <math>A</math>에 곱셈을 추가하여 [[환 (수학)|환]]을 이루게 된다면, 다음과 같은 항등식들이 추가로 성립한다.
* (양쪽 곱셈의 보존) <math>(-a)b=a(-b)=-ab</math>
* <math>(-a)(-b)=ab</math>
만약 <math>A</math>의 0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 갖는다면, (즉, <math>A</math>가 [[나눗셈환]]을 이룬다면,) 다음과 같은 항등식들이 추가로 성립한다.
* (곱셈 역원의 보존) <math>(-a)^{-1}=-a^{-1}</math>
* <math>(-a)/b=a/(-b)=-a/b</math>
* <math>(-a)/(-b)=a/b</math>
예를 들어, 임의의 [[복소수]]의 경우, 위 항등식들은 모두 성립한다.

== 예 ==
덧셈 [[가환 모노이드]]에 대해서도 반수를 취하는 연산에 대하여 닫혀있는지를 논할 수 있다. 예를 들어, [[정수]], [[유리수]], [[실수]], [[복소수]]의 집합은 각각 반수를 취하는 연산에 대하여 닫혀있다. 즉, 이들의 반수는 각각 정수, 유리수, 실수, 복소수이다. 그러나 [[자연수]], [[기수 (수학)|기수]], [[순서수]]의 반수는 (0을 제외하면) 각각의 집합 속에서 찾을 수 없으므로 이들의 집합은 반수에 대하여 닫혀있지 않다.

== 같이 보기 ==
* [[절댓값]]
* [[역수]]
* [[선대칭]]

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:산술]]
[[분류:초등대수학]]