더시터르 공간 문서 원본 보기

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[[일반 상대성 이론]]과 [[미분기하학]]에서 '''더시터르 공간'''(de Sitter空間, {{llang|en|de Sitter space}})은 [[로런츠 다양체]]의 하나다. 양의 [[우주 상수]]를 가지는 [[아인슈타인 방정식]]의 [[진공 해]]이며, [[암흑 에너지]]밖에 없는 진공을 나타낸다. ''n''차원 더시터르 공간의 기호는 dS<sub>''n''</sub>.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) [[암흑 에너지]]로 차 있다 ([[ΛCDM 모형]]). 따라서, 우리 우주는 더시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 [[특수 상대성 이론]]의 골자로서 [[민코프스키 공간]]이 이용된 것을, 이 더시터르 공간을 새로이 이용해서 [[더시터르 상대성]]이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

== 역사 ==
1917년에 [[빌럼 더시터르]]<ref>{{저널 인용|성=de Sitter|이름=W.|저자링크=빌럼 더시터르|날짜=1917|제목=On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein’s latest hypothesis|저널=Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings|권=19|호=2|pages=1217–1225|bibcode=1917KNAB...19.1217D|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=de Sitter|이름=W.|날짜=1918|title=On the curvature of space|저널=Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings|권=20|호=1|쪽=229–243|bibcode=1918KNAB...20..229D|언어=en}}</ref>와 [[툴리오 레비치비타]]<ref>{{저널 인용|이름=Tullio|성=Levi-Civita|저자링크=툴리오 레비치비타|제목=Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi|journal=Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei|volume=26|날짜=1917|pages=519–31|언어=it}}. 번역 {{저널 인용|doi=10.1007/s10714-011-1188-4|저널=General Relativity and Gravitation|제목=Republication of: The physical reality of some normal spaces of Bianchi|권=43|호=8|쪽=2307–2320|언어=en}}</ref> 가 독자적으로 발견하였다.

== 정의 ==
''n''차원 '''더시터르 공간'''은 ''n''+1차원 [[민코프스키 공간]]의 [[부분공간]]으로 정의할 수 있다. ''n''+1차원 [[민코프스키 공간]] <math>\mathbb R^{1,n}</math>의 다음과 같은 [[직교좌표계]]를 생각하자.
:<math>ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.</math>
더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 [[쌍곡면]]으로 표현되는 부분다양체이다.
:<math>-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 =\alpha^2</math>
여기서 <math>\alpha</math>는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, '''더시터르 반지름'''({{llang|en|de Sitter radius}})이라고 한다. 더시터르 공간의 [[계량 텐서]]는 고차원 [[민코프스키 공간]]에서 유도되는 계량 텐서({{lang|en|induced metric}})이며, 이 계량이 로런츠 [[계량 부호수]]를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 <math>\alpha^2</math> 을 <math>-\alpha^2</math>으로 대치하면 두 장의 [[쌍곡면]]을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 ''n''차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

== 성질 ==
=== 기하학적 성질 ===
더시터르 공간은 [[동차공간]]
:<math>\operatorname{dS}_n=O(1,n)/O(1,n-1)</math>
으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(''p'',''q'')는 임의의 [[계량 부호수]]에 대한 [[직교군]]이다.

더시터르 공간의 [[등거리변환]]군은 O(1,''n'') [[로런츠 군]]이다. 그러므로 계랑은 ''n''(''n''+1)/2 개의 독립적인 [[킬링 벡터]]를 가지며, 최대대칭공간({{llang|en|maximally symmetric space}})이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더시터르 공간의 [[리만 곡률 텐서]]는 다음과 같다.
:<math>R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})</math>
[[리치 곡률]]이 계량에 비례하므로, 더시터르 공간은 [[아인슈타인 다양체]]이다.
:<math>R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2}g_{\mu\nu}</math>
따라서, 더시터르 공간은 다음과 같은 [[우주 상수]] <math>\Lambda</math>를 갖는, [[아인슈타인 방정식]]의 진공해이다.
:<math>\Lambda = \frac{(n-1)(n-2)}{2\alpha^2}.</math>
더시터르 공간의 [[스칼라 곡률]]은 다음과 같다.
:<math>R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.</math>
4차원 더시터르 공간의 경우 <math>\Lambda=3/\alpha^2</math>, <math>R=4\Lambda=12/\alpha^2</math>이다.

=== 위상수학적 성질 ===
''n''차원 더시터르 공간은 <math>S^{n-1}\times\mathbb R</math>과 [[위상동형]]이다. 따라서 2차원이 아닌 더시터르 공간은 [[단일 연결 공간]]이다. (2차원 더시터르 공간은 물론 [[기본군]] <math>\mathbb Z</math>를 가진다.)

=== 펜로즈 그림 ===
[[파일:DeSitter-conformal.svg|오른쪽|섬네일|더시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.]]
더시터르 공간의 [[펜로즈 그림]]은 정사각형이다. 더시터르 공간의 경우 위상학적으로 <math>S^{n-1}\times\mathbb R</math>이므로, 정사각형 내부의 각 점은 <math>S^{n-2}</math>에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 <math>S^{n-1}</math>의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

== 좌표계 ==
더시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

=== 정적 좌표계 ===
'''정적 좌표계'''(靜的座標系, {{llang|en|static coordinate system}})로서 <math>(t, r, \ldots)</math> 을 다음과 같이 놓을 수 있다.
:<math>x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\sinh(t/\alpha)</math>
:<math>x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\cosh(t/\alpha)</math>
:<math>x_i = r z_i \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2\le i\le n.</math>
여기서 <math>z_i</math>은 '''R'''<sup>''n''−1</sup> 안에서의 표준 매장으로서의 (''n''−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

:<math>ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.</math>

여기서 <math>r = \alpha</math>에 [[사건 지평선]]이 존재한다. 이를 '''우주론적 지평선'''(宇宙論的地平線, {{llang|en|cosmological horizon}})이라고 하며, 지평선 안을 [[관측 가능한 우주]]({{llang|en|observable universe}})라고 한다.

=== FLRW 좌표계 ===
더시터르 공간은 [[FLRW 계량|FLRW 해]]의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 [[엽층]]을 줄 수 있다.

''n''차원 FLRW 계량은
:<math>ds^2=-dt^2+a(t)^2d\Sigma^2</math>
이며, 여기서
:<math>d\Sigma^2=d\Omega_{n-1}^2</math> (''n''−1차원 [[초구]] 계량, <math>k=+1</math>인 경우)
:<math>d\Sigma^2=dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2</math> (''n''−1차원 [[유클리드 공간]] 계량, <math>k=0</math>인 경우)
:<math>d\Sigma^2=dr^2+(\sinh^2r)d\Omega_{n-2}^2</math> (''n''−1차원 [[쌍곡공간]] 계량, <math>k=-1</math>인 경우)
이다. [[척도인자]] <math>a(t)</math>는 다음과 같다.
:<math>a(t)=\alpha\cosh(t/\alpha)</math> (<math>k=+1</math>)
:<math>a(t)=\exp(t/\alpha)</math> (<math>k=0</math>)
:<math>a(t)=\alpha\sinh(t/\alpha)</math> (<math>k=-1</math>)

== 열역학 ==
더시터르 공간은 ([[반 더시터르 공간]]과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더시터르 공간은 [[블랙홀 열역학|블랙홀]]과 마찬가지로 유한한 온도와 [[엔트로피]]를 가지게 된다.

더시터르 공간에서의 진공 상태는 '''번치-데이비스 진공'''({{llang|en|Bunch–Davies vacuum}})이라고 불리는 상태이며, 그 온도는
:<math>T=\frac{\hbar}{k_B2\pi\alpha}</math>
이다.<ref>{{저널 인용|bibcode=1996IJMPB..10.1507N|doi=10.1142/S0217979296000611|성=Narnhofer|이름=H.|공저자=I. Peter, W. Thirring
|제목=How hot is the de Sitter space?|저널=International Journal of Modern Physics B|권=10|호=13–14|쪽=1507–1520|날짜=1996-06-30
|언어=en|issn= 0217-9792|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.152.2869&rep=rep1&type=pdf}}</ref><ref name="SSV">{{저널 인용|제목=Les Houches lectures on de Sitter space|이름=Marcus|성=Spradlin|공저자=[[앤드루 스트로민저|Andrew Strominger]], Anastasia Volovich|arxiv=hep-th/0110007|bibcode=2001hep.th...10007S|날짜=2001|언어=en}}</ref><ref name="Hartong">{{서적 인용|제목=On problems in de Sitter spacetime physics: scalar field, black holes and instability|이름=Jelle|성=Hartong|날짜=2004-07|출판사=[[흐로닝언 대학교]]|url=http://thep.housing.rug.nl/theses/master-thesis_jelle-hartong|언어=en|기타=석사 학위 논문 (지도 교수 Mees de Roo)|확인날짜=2013-05-26|보존url=https://web.archive.org/web/20151204000717/http://thep.housing.rug.nl/theses/master-thesis_jelle-hartong#|보존날짜=2015-12-04|url-status=dead}}</ref> 또한, 더시터르 공간의 지평선의 넓이
:<math>A=\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}</math>
는 유한하다. (여기서 <math>\operatorname{vol}(S^{n-2})</math>는 반지름이 1인 <math>n-2</math>차원 [[초구]]의 넓이다.)
따라서 [[블랙홀 열역학]]과 유사하게 [[엔트로피]]
:<math>S=\frac{k_Bc^3A}{4\hbar G}
=\frac{k_Bc^3\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}}{4\hbar G}
</math>
를 계산할 수 있다.<ref name="SSV"/><ref name="Hartong"/><ref>{{저널 인용
| title = Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation
| 성 = Gibbons|이름=Gary W.|저자링크=게리 기번스|공저자=[[스티븐 호킹|Stephen W. Hawking]]
| journal = Physical Review D | volume = 15 | issue = 10 | pages = 2738–2751
| year = 1977-05-15 | doi = 10.1103/PhysRevD.15.2738 |bibcode = 1977PhRvD..15.2738G|issn=1550-7998|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Einstein, 1905–2005. Poincaré Seminar 2005|기타=Progress in Mathematical Physics 47|장=The de Sitter and anti-de Sitter sightseeing tour|이름=Ugo|성=Moschella|쪽=120–133|doi=10.1007/3-7643-7436-5_4|isbn=978-3-7643-7435-8|날짜=2006|출판사=Springer|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Adventures in de Sitter space|이름=Raphael|성=Bousso|arxiv=hep-th/0205177|bibcode=2003ftpc.book..539B|제목=The future of theoretical physics and cosmology: Celebrating Stephen Hawking's Contributions to Physics|isbn=978-052182081-3|날짜=2003-10|url=http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item1170349/?site_locale=en_GB|출판사=Cambridge University Press|위치=[[케임브리지|Cambridge]]|언어=en|쪽=539–569}}
* {{저널 인용|제목=Classical geometry of de Sitter spacetime: an introductory review|이름=Yoonbai|성=Kim|공저자=Chae Young Oh, Namil Park|arxiv=hep-th/0212326|bibcode=2002hep.th...12326K|날짜=2002|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Aspects of quantum gravity in de Sitter spaces|이름=Dietmar|성=Klemm|공저자=Luciano Vanzo|arxiv=hep-th/0407255|bibcode=2004JCAP...11..006K|doi=10.1088/1475-7516/2004/11/006|저널=Journal of Cosmology and Astroparticle Physics|권=2004|호=11|날짜=2004-11|쪽=6|출판사=Institute of Physics Publishing,  Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati|issn=1475-7516|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=De Sitter musings|이름=Dionysios|성=Anninos|arxiv=1205.3855|언어=en|bibcode=2012IJMPA..2730013A|doi=10.1142/S0217751X1230013X|저널=International Journal of Modern Physics A|권=27|호=13|issn=0217-751X|쪽=1230013|날짜=2012-05-20}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=De Sitter space}}
* {{웹 인용|url=https://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2012/04/15/de-sitter-space-and-cosmology/|제목=De Sitter space and cosmology|이름=Mark|성=Trodden|웹사이트=Cosmic Variance|출판사=Discover Magazine|날짜=2012-04-15|언어=en|확인날짜=2014-08-28|archive-date=2014-09-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20140903104439/https://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2012/04/15/de-sitter-space-and-cosmology/|url-status=}}

== 같이 보기 ==
* [[반 더시터르 공간]]
* [[dS/CFT 대응성]]
* [[더시터르-슈바르트실트 우주]]
* [[쌍곡면]]

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:민코프스키 시공간]]