대합 대수 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''대합 대수'''(對合代數, {{llang|en|algebra with involution}}, {{lang|en|*-algebra}})는 호환되는 [[대합 (수학)|대합]]이 주어진 [[결합 대수]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 '''대합 대수'''({{llang|en|algebra with involution}}, {{lang|en|*-algebra}}) <math>(A,^*)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어지는 [[대수 구조]]이다.
* <math>R</math>는 <math>K</math> 위의 (항등원을 갖는) [[결합 대수]]이다.
* <math>^*\colon A\to A^{\operatorname{op}}</math>는 <math>K</math>-[[가군 준동형]]이자 [[환 준동형]]이며, [[대합 (수학)|대합]]이다. (여기서 <math>A^{\operatorname{op}}</math>는 [[반대환]]을 뜻한다.) 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
** 임의의 <math>k\in K</math> 및 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>(ka)^*=ka^*</math>
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>(ab)^*=b^*a^*</math>
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>(a+b)^*=a^*+b^*</math>
** 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>a^{**}=a</math>

정수환 <math>\mathbb Z</math> 위의 [[결합 대수]]는 [[환 (수학)|환]]과 같은 개념이므로, 정수환 <math>\mathbb Z</math> 위의 대합 대수를 '''대합환'''이라고 한다.

보다 일반적으로, [[가환환|가환]] 대합환 <math>(K,^*)</math> 위의 '''대합 대수''' <math>(A,^*)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어지는 [[대수 구조]]이다.
* <math>A</math>는 <math>K</math> 위의 (항등원을 갖는) [[결합 대수]]이다.
* <math>^*\colon A\to A^{\operatorname{op}}</math>는 다음을 만족시킨다.
** 임의의 <math>k\in K</math> 및 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>(ka)^*=k^*a^*</math>
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>(ab)^*=b^*a^*</math>
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>(a+b)^*=a^*+b^*</math>
** 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>a^{**}=a</math>
예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) [[복소수체]]의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다.

=== 특별한 원소 ===
가환 대합환 <math>(K,^*)</math>가 주어졌으며, 그 부분환 <math>K_0=\{\lambda\in K\colon \lambda=\lambda^*\}</math>을 생각하자. 그렇다면, <math>(K,^*)</math>-대합 대수 <math>A</math>의 원소에 대하여, 다음과 같은 특별한 것들을 정의할 수 있다.
{| class=wikitable
! 용어 !! 정의 !! 비고
|-
| '''자기 수반 원소'''({{llang|en|self-adjoint element}}) || <math>a=a^*</math> || 자기 수반 원소들은 <math>a\bullet b=ab+ba</math> 아래 <math>K_0</math>-[[요르단 대수]]를 이룸
|-
| '''반자기 수반 원소'''({{llang|en|anti-self-adjoint element}}) || <math>a=-a^*</math> || 반자기 수반 원소들은 [[리 괄호]] <math>[x,y]=xy-yx</math> 아래 <math>K_0</math>-[[리 대수]]를 이룸
|-
| '''등거리원'''(等距離元, {{llang|en|isometry element}}) || <math>a^*a=1</math> ||
|-
| '''유니터리 원소'''(unitary元素, {{llang|en|unitary element}}) || 정규원이자 등거리원 (즉, [[가역원]]이며 <math>a^{-1}=a^*</math>) || [[유니터리 변환]]의 개념의 일반화
|-
| '''정규원'''(正規元, {{llang|en|normal element}}) || <math>aa^*=a^*a</math> || [[정규 작용소]]의 개념의 일반화
|-
| '''사영원'''(射影元, {{llang|en|projection element}}) || [[멱등원]]이자 자기 수반 원소 (즉, <math>a=a^2=a^*</math>) ||
|-
| '''부분 등거리원'''(部分等距離元, {{llang|en|partial isometry element}}) || <math>a^*a</math>가 사영원 ||
|-
| '''음이 아닌 원소'''(陰-元素, {{llang|en|nonnegative element}}) || <math>\exists b\colon a=b^*b</math> ||
|}

== 예 ==
=== 자명한 대합환 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 임의의 [[결합 대수]] <math>A</math> 위에 [[항등 함수]] 대합
:<math>a=a^*</math>
을 주면, 이는 <math>K</math>-대합 대수를 이룬다.

=== 등급환 ===
가환환 <math>K</math>와 <math>R</math> 사이의 [[환 준동형]] <math>K\to R</math>이 주어졌다고 하자. <math>R</math> 위의 대합을 [[항등 함수]]로 정의한다면 <math>R</math>는 (자명한) <math>K</math>-대합 대수를 이룬다. 보다 일반적으로, <math>R</math>에 추가로 <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급환|등급]] <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.
:<math>R=R_0\oplus R_1</math>
:<math>(r_0+r_1)^*=r_0-r_1\qquad\forall r_0\in R_0,\;r_1\in R_1</math>
이 역시 <math>K</math>-대합 대수를 이룬다.

=== 체의 확대 ===
[[복소수체]] <math>\mathbb C</math>는 <math>\mathbb R</math>-대합 대수를 이루며, 대합 연산은 [[복소켤레]]이다. 보다 일반적으로, [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 및  <math>n\in K^\times\setminus(K^\times)^2</math>에 대하여, 2차 [[체의 확대|확대]] <math>K(\sqrt n)</math> 위에 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.
:<math>(a+b\sqrt n)^*=a-b\sqrt n\qquad\forall a,b\in K</math>
이는 <math>K</math>-대합 대수를 이룬다.

=== 다항식환 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[다항식환]] <math>K[x]</math> 위에 다음과 같은 대합을 줄 수 있다.
:<math>p^*(x)=p(-x)\qquad\forall p\in K[x]</math>
그렇다면 이는 <math>K</math>-대합 대수를 이룬다.

=== 행렬환 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>에서, 대합을 [[전치행렬]]로 놓는다면 이는 <math>K</math>-대합 대수를 이룬다.

=== 사원수환 ===
[[사원수환]] <math>\mathbb H</math>는 (사원수 켤레에 대하여) <math>\mathbb R</math>-대합 대수를 이루지만, <math>\mathbb C</math>-대합 대수를 이루지 않는다.

=== C* 대수 ===
{{본문|C* 대수}}
모든 [[C* 대수]]나 [[폰 노이만 대수]]는 정의에 따라 복소수 대합 대수를 이룬다. 특히, [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위의 [[유계 작용소]]들의 [[폰 노이만 대수]] <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>는 [[에르미트 수반]]을 대합으로 삼아 복소수 대합 대수를 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[C* 대수]]
* [[케일리-딕슨 구성]]
* [[폰 노이만 대수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Involution algebra}}
* {{매스월드|id=InvolutiveAlgebra|title=Involutive algebra}}
* {{nlab|id=star-algebra|title=Star-algebra}}

[[분류:대수]]
[[분류:환론]]