대칭 다항식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''대칭 다항식'''(對稱多項式, {{lang|en|symmetric polynomial}})은 변수의 위치를 뒤바꿔도 변하지 않는 [[다변수 다항식]]이다.

== 정의 ==
[[다항식]] <math>f\in K[x_1,\dots,x_n]</math> (<math>K</math>는 [[체 (수학)|체]])가 다음 조건을 만족시키면, '''대칭 다항식'''이라고 한다.
* 임의의 <math>\sigma\in S_n</math>에 대하여, <math>f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})=f(x_1,\dots,x_n)</math>
또한, <math>n</math>변수 <math>(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math>차 '''단항 대칭 다항식'''(單項對稱多項式, {{llang|en|monomial symmetric polynomial}}) <math>m_{n,\alpha}\in K[x_1,\dots,x_n]</math>은 다음과 같다.
:<math>m_{n,\alpha}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\sigma\in S_n}x_{\sigma(1)}^{\alpha_1}\cdots x_{\sigma(n)}^{\alpha_n}</math>
또한, <math>n</math>변수 <math>k</math>차 '''[[기본 대칭 다항식]]'''(基本對稱多項式, {{llang|en|elementary symmetric polynomial}}) <math>e_{n,k}\in K[x_1,\dots,x_n]</math>은 다음과 같다.
:<math>e_{n,k}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}x_{i_1}\cdots x_{i_k}</math>
또한, <math>n</math>변수 <math>k</math>차 '''멱합 대칭 다항식'''(冪合對稱多項式, {{lang|en|power sum symmetric polynomial}}) <math>s_{n,k}\in K[x_1,\dots,x_n]</math>은 다음과 같다.
:<math>s_{n,k}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^nx_i^k=x_1^k+\cdots+x_n^k</math>
또한, <math>n</math>변수 <math>k</math>차 '''완전 동차 대칭 다항식'''(完全同次對稱多項式, {{llang|en|complete homogeneous symmetric polynomial}}) <math>h_{n,k}\in K[x_1,\dots,x_n]</math>은 다음과 같다.
:<math>h_{n,k}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le i_1\le\cdots\le i_k\le n}x_{i_1}\cdots x_{i_k}=\sum_{k_1,\dots,k_n\ge0}^{k_1+\cdots+k_n=k}x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}</math>

== 성질 ==
모든 대칭 다항식 <math>f\in K[x_1,\dots,x_n]</math>에 대하여, <math>f=g(e_{n,1},\dots,e_{n,n})</math>인 <math>g\in K[x_1,\dots,x_n]</math>가 존재한다.

== 같이 보기 ==
* [[대칭 함수]]
* [[뉴턴 항등식]]
* [[뮤어헤드의 부등식]]

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=대칭다항식}}
* {{수학노트|title=단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)}}
* {{수학노트|title=거듭제곱 대칭 다항식 (power sum symmetric polynomial)}}
* {{수학노트|title=완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)}}
* {{수학노트|title=슈르 다항식(Schur polynomial)}}
* {{eom|title=Symmetric polynomial}}
* {{매스월드|id=SymmetricPolynomial|title=Symmetric polynomial}}
* {{플래닛매스|urlname=symmetricpolynomial|title=Symmetric polynomial}}
* {{proofwiki|id=Definition:Symmetric Polynomial|제목=Definition:Symmetric polynomial}}

{{전거 통제}}
{{토막글|대수학}}

[[분류:다항식]]
[[분류:대칭함수]]